Мартингейл: стратегия ставок и риски

Мартингейл – это популярная стратегия ставок, основанная на удвоении ставки после каждого проигрыша. Разберемся, действительно ли система Мартингейл так надежна, как кажется, и какие риски она таит.

Стратегия азартных игр, в которой сумма ставки увеличивается до тех пор, пока человек не выиграет или не станет неплатежеспособным. Об обобщенной математической концепции см. Мартингал (теория вероятностей).

Мартингейл (martingale) — это класс стратегий ставок, возникших во Франции XVIII века и пользовавшихся там популярностью. Простейшая из этих стратегий была разработана для игры, в которой игрок выигрывает ставку, если выпадает орел, и проигрывает, если выпадает решка. Стратегия заключалась в том, что игрок удваивал ставку после каждого проигрыша, так что первый выигрыш возмещал все предыдущие проигрыши и приносил прибыль, равную первоначальной ставке. Таким образом, эта стратегия имеет сходство с Санкт-Петербургским парадоксом.

Поскольку игрок почти наверняка в конечном итоге подбросит орла, стратегия ставок мартингейл обязательно принесет деньги игроку, при условии, что у него есть бесконечное богатство и нет ограничений на деньги, заработанные в одной ставке. Однако ни у одного игрока нет бесконечного богатства, и экспоненциальный рост ставок может обанкротить неудачливых игроков, которые решат использовать мартингейл, что приведет к катастрофическим потерям. Несмотря на то, что игрок обычно получает небольшое чистое вознаграждение, что, казалось бы, свидетельствует о надежности стратегии, ожидаемая ценность игрока остается равной нулю, поскольку небольшая вероятность того, что игрок понесет катастрофические убытки, точно уравновешивается ожидаемой прибылью. В казино ожидаемая ценность отрицательна из-за преимущества казино. Кроме того, поскольку вероятность серии последовательных проигрышей выше, чем подсказывает обычная интуиция, стратегии мартингейла могут быстро обанкротить игрока.

Стратегия мартингейла также применялась к рулетке, поскольку вероятность выпадения красного или черного близка к 50%.

Интуитивный анализ

Основная причина, по которой все системы ставок типа мартингейла терпят неудачу, заключается в том, что никакое количество информации о результатах прошлых ставок не может быть использовано для прогнозирования результатов будущей ставки с точностью, превышающей случайность. В математической терминологии это соответствует предположению, что результаты выигрышей и проигрышей каждой ставки являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, предположение, которое справедливо во многих реалистичных ситуациях. Из этого предположения следует, что ожидаемая ценность серии ставок равна сумме, по всем ставкам, которые потенциально могут произойти в серии, ожидаемой ценности потенциальной ставки, умноженной на вероятность того, что игрок сделает эту ставку. В большинстве игр казино ожидаемая ценность любой отдельной ставки отрицательна, поэтому сумма многих отрицательных чисел также всегда будет отрицательной.

Стратегия мартингейла терпит неудачу даже при неограниченном времени остановки, если есть ограничение на заработок или на ставки (что также верно на практике). Только при неограниченном богатстве, ставках и времени можно утверждать, что мартингейл становится выигрышной стратегией.

Математический анализ

Невозможность выигрыша в долгосрочной перспективе, учитывая ограничение размера ставок или ограничение размера собственного капитала или кредитной линии, доказывается теоремой об опциональной остановке.

Однако без этих ограничений стратегия ставок мартингейл обязательно принесет деньги игроку, потому что шанс, что хотя бы один раз выпадет орел, приближается к единице по мере того, как количество подбрасываний монеты приближается к бесконечности.

Математический анализ одного раунда

Определим один раунд как последовательность последовательных проигрышей, за которыми следует либо выигрыш, либо банкротство игрока. После выигрыша игрок «перезагружается» и считается начавшим новый раунд. Таким образом, непрерывную последовательность ставок мартингейла можно разделить на последовательность независимых раундов. Ниже приведен анализ ожидаемой ценности одного раунда.

Пусть q — вероятность проигрыша (например, для американской рулетки с двойным зеро она составляет 20/38 для ставки на черное или красное). Пусть B — сумма первоначальной ставки. Пусть n — конечное число ставок, которые игрок может позволить себе проиграть.

Вероятность того, что игрок проиграет все n ставок, равна qⁿ. Когда все ставки проигрывают, общая потеря составляет

∑i=1nB⋅2i−1=B(2n−1){\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)}

Вероятность того, что игрок не проиграет все n ставок, равна 1 − qⁿ. Во всех остальных случаях игрок выигрывает первоначальную ставку (B). Таким образом, ожидаемая прибыль за раунд составляет

(1−qn)⋅B−qn⋅B(2n−1)=B(1−(2q)n){\displaystyle (1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n})}

Всякий раз, когда q > 1/2, выражение 1 − (2q)ⁿ < 0 для всех n > 0. Таким образом, для всех игр, где игрок с большей вероятностью проиграет, чем выиграет любую данную ставку, ожидается, что этот игрок будет терять деньги в среднем каждый раунд. Увеличение размера ставки для каждого раунда в соответствии с системой мартингейла только увеличивает средний убыток.

Предположим, что у игрока есть 63 единицы игрового капитала. Игрок может поставить 1 единицу на первое вращение. При каждом проигрыше ставка удваивается. Таким образом, принимая k за количество предшествующих последовательных проигрышей, игрок всегда будет ставить 2^k единиц.

При выигрыше на любом данном вращении игрок получит 1 единицу сверх общей суммы, поставленной на этот момент. Как только этот выигрыш достигнут, игрок перезапускает систему со ставкой в 1 единицу.

При проигрышах на всех первых шести вращениях игрок теряет в общей сложности 63 единицы. Это исчерпывает капитал, и мартингейл не может быть продолжен.

В этом примере вероятность потери всего капитала и невозможности продолжения мартингейла равна вероятности 6 последовательных проигрышей: (10/19)⁶ = 2,1256%. Вероятность выигрыша равна 1 минус вероятность проигрыша 6 раз: 1 − (10/19)⁶ = 97,8744%.

Ожидаемая сумма выигрыша составляет (1 × 0,978744) = 0,978744.

Ожидаемая сумма проигрыша составляет (63 × 0,021256) = 1,339118.

Таким образом, общая ожидаемая ценность для каждого применения системы ставок составляет (0,978744 − 1,339118) = −0,360374 .

Альтернативный математический анализ

Предыдущий анализ вычисляет ожидаемую ценность, но мы можем задать другой вопрос: какова вероятность того, что можно играть в игру казино, используя стратегию мартингейла, и избежать проигрышной серии достаточно долго, чтобы удвоить свой капитал?

Как и прежде, это зависит от вероятности проигрыша 6 вращений рулетки подряд, если мы делаем ставки на красное/черное или четное/нечетное. Многие игроки считают, что шансы проиграть 6 раз подряд невелики, и что при терпеливом соблюдении стратегии они будут медленно увеличивать свой капитал.

В действительности шансы на серию из 6 проигрышей подряд намного выше, чем многие люди интуитивно полагают. Психологические исследования показали, что, поскольку люди знают, что шансы проиграть 6 раз подряд из 6 игр невелики, они ошибочно полагают, что в более длинной серии игр шансы также очень низки. Фактически, в то время как шанс проиграть 6 раз подряд в 6 играх составляет относительно низкие 1,8% на колесе с одним зеро, вероятность проиграть 6 раз подряд (то есть столкнуться с серией из 6 проигрышей) в какой-то момент во время серии из 200 игр составляет примерно 84%. Даже если игрок может позволить себе ставить ~1000 раз больше своей первоначальной ставки, серия из 10 проигрышей подряд имеет ~11% шанс произойти во время серии из 200 игр. Такая проигрышная серия, вероятно, уничтожит игрока, поскольку 10 последовательных проигрышей с использованием стратегии мартингейла означают потерю в 1023 раза больше первоначальной ставки.

Эти неинтуитивно рискованные вероятности повышают требование к капиталу для «безопасных» долгосрочных ставок мартингейла до непомерно высоких чисел. Чтобы иметь менее 10% шансов не пережить длинную проигрышную серию во время 5000 игр, игрок должен иметь достаточно средств, чтобы удваивать свои ставки в течение 15 проигрышей. Это означает, что у игрока должно быть более 65 500 (2¹⁵-1 для его 15 проигрышей и 2¹⁵ для его 16-й выигрышной ставки, завершающей серию) раз больше размера его первоначальной ставки. Таким образом, игрок, делающий ставки в 10 единиц, захочет иметь более 655 000 единиц в своем капитале (и все равно иметь ~5,5% шанс потерять все во время 5000 игр).

Когда людей просят придумать данные, представляющие 200 подбрасываний монеты, они часто не добавляют серии более 5, потому что считают, что эти серии очень маловероятны. Эта интуитивная вера иногда называется эвристикой репрезентативности.

Анти-мартингейл

В классическом стиле ставок мартингейла игроки увеличивают ставки после каждого проигрыша в надежде, что возможный выигрыш возместит все предыдущие проигрыши. Подход анти-мартингейла, также известный как обратный мартингейл, вместо этого увеличивает ставки после выигрышей, уменьшая их после проигрыша. Считается, что игрок получит выгоду от выигрышной серии или «горячей руки», уменьшая при этом потери, когда «холоден» или в противном случае имеет проигрышную серию. Однако на практике система анти-мартингейла не приносит прибыли.

Что такое Мартингейл?