Выпуклость в финансике: Гамма и опционы

Выпуклость в финансах — это ключевая концепция математической финансики, описывающая нелинейность в ценообразовании производных инструментов. Она измеряется второй производной, известной как гамма, и играет критическую роль в оценке опционов и управлении волатильностью. Понимание выпуклости необходимо для успешного риск-менеджмента на финансовых рынках.

Концепция в математической финансике

В математической финансике выпуклость относится к нелинейностям в финансовой модели. Другими словами, если цена базового актива изменяется, цена выходного значения изменяется не линейно, а зависит от второй производной (или, говоря более свободно, от членов более высокого порядка) функции модели. Геометрически модель больше не является плоской, а изогнутой, и степень кривизны называется выпуклостью.

Терминология

Строго говоря, выпуклость относится ко второй производной цены выходного значения по отношению к цене входного значения. При оценке производных инструментов это называется Гамма (Γ), одна из греческих букв. На практике наиболее значимой является выпуклость облигаций — вторая производная цены облигации по отношению к процентным ставкам.

Поскольку вторая производная является первым нелинейным членом и часто наиболее значимым, термин «выпуклость» также используется в более широком смысле для обозначения нелинейностей в целом, включая члены более высокого порядка. Уточнение модели с учетом нелинейностей называется корректировкой выпуклости.

Математика

Формально корректировка выпуклости вытекает из неравенства Йенсена в теории вероятностей: математическое ожидание выпуклой функции больше или равно функции математического ожидания:

E[f(X)] ≥ f(E[X])

Геометрически, если цена модели изгибается вверх с обеих сторон от текущей стоимости (функция выплаты выпукла вверх и находится выше касательной линии в этой точке), то при изменении цены базового актива цена выходного значения больше, чем предсказывает модель, использующая только первую производную. И наоборот, если цена модели изгибается вниз (выпуклость отрицательна, функция выплаты находится ниже касательной линии), цена выходного значения ниже, чем предсказывает модель с использованием только первой производной.

Точная корректировка выпуклости зависит от модели будущих движений цены базового актива (распределение вероятностей) и от модели цены, хотя она линейна по отношению к выпуклости (вторая производная функции цены).

Интерпретация

Выпуклость можно использовать для интерпретации оценки производных инструментов: математически выпуклость — это опционность, то есть цена опциона (стоимость опционности) соответствует выпуклости базовой выплаты.

При оценке опционов по модели Блэка-Шоулза (Black-Scholes), если пренебречь процентными ставками и первой производной, уравнение Блэка-Шоулза сводится к соотношению: Θ = −Γ, что означает «(бесконечно малая) временная стоимость — это выпуклость». То есть стоимость опциона обусловлена выпуклостью конечной выплаты: у вас есть опцион купить актив или нет (в случае колла; для пута это опцион продать), и функция конечной выплаты (форма хоккейной клюшки) выпукла — «опционность» соответствует выпуклости выплаты. Таким образом, если вы покупаете колл-опцион, математическое ожидание стоимости опциона выше, чем просто взять ожидаемую будущую стоимость базового актива и подставить её в функцию выплаты опциона: математическое ожидание выпуклой функции выше, чем функция математического ожидания (неравенство Йенсена). Цена опциона — стоимость опционности — таким образом отражает выпуклость функции выплаты.

Эта стоимость выделяется с помощью стрэддла — покупка стрэддла «при деньгах» (стоимость которого растет, если цена базового актива растет или падает) имеет (изначально) нулевую дельту: вы просто покупаете выпуклость (опционность), не занимая позицию по базовому активу — вы получаете прибыль от величины движения, а не от его направления.

С точки зрения управления рисками, длинная позиция по выпуклости (положительная Гамма и, следовательно, при игнорировании процентных ставок и Дельты, отрицательная Тета) означает, что вы получаете прибыль от волатильности (положительная Гамма), но теряете деньги со временем (отрицательная Тета) — вы получаете чистую прибыль, если цены движутся больше, чем ожидалось, и чистый убыток, если цены движутся меньше, чем ожидалось.

Корректировки выпуклости

С точки зрения моделирования корректировки выпуклости возникают каждый раз, когда моделируемые базовые финансовые переменные не являются мартингалом в рамках меры оценки. Применение теоремы Гирсанова позволяет выразить динамику моделируемых финансовых переменных в рамках меры оценки и, таким образом, оценить эту корректировку выпуклости. Типичные примеры корректировок выпуклости включают:

• Quanto-опционы: базовый актив номинирован в валюте, отличной от валюты платежа. Если дисконтированный базовый актив является мартингалом в соответствии с его внутренней нейтральной к риску мерой, то он больше не является таковым в соответствии с нейтральной к риску мерой валюты платежа
• Инструменты своп с постоянным сроком погашения (CMS) (свопы, кэпы/флоры)
• Анализ скорректированного на опцион спреда (OAS) для ценных бумаг, обеспеченных ипотекой, или других облигаций с опционом
• Расчет форвардной ставки IBOR из фьючерсов Eurodollar
• IBOR-форварды в соответствии с моделью рынка LIBOR (LMM)

Выпуклость в финансах и её практическое применение