Вероятность в покере: расчёт комбинаций карт

Вероятность в покере — это математическая основа успешной игры, которая позволяет оценить шансы на победу. Из 2,6 млн возможных пятикарточных комбинаций каждая рука имеет точный процент выпадения. Понимание этих расчётов превращает покер из игры удачи в стратегическую дисциплину, где знание теории вероятностей даёт конкурентное преимущество.

В покере вероятность каждого типа пятикарточной комбинации можно вычислить, определив долю комбинаций этого типа среди всех возможных рук.

История

Вероятность и азартные игры существовали задолго до изобретения покера. Развитие теории вероятностей в конце XV века было связано с азартными играми — при ставках высокого размера игроки хотели знать свои шансы на победу. В 1494 году монах Лука Пачоли (Fra Luca Pacioli) опубликовал труд «Сумма арифметики, геометрии, пропорций и пропорциональности» (Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalita), ставший первым письменным источником по теории вероятностей. Вдохновленный работой Пачоли, Джероламо Кардано (Girolamo Cardano, 1501–1576) развил теорию вероятностей дальше. Его труд 1550 года «Книга об азартных играх» (Liber de Ludo Aleae) рассматривал концепции вероятности и её связь с азартными играми. Однако его работа не получила признания при жизни, так как была опубликована только после его смерти. Блез Паскаль (Blaise Pascal, 1623–1662) также внес вклад в развитие теории вероятностей. Его друг Шевалье де Мере (Chevalier de Méré) был страстным игроком, стремившимся разбогатеть на азартных играх. Де Мере попробовал применить новый математический подход к азартной игре, но не получил желаемых результатов. Желая понять, почему его стратегия не сработала, он обратился к Паскалю. Это привело к важной переписке между Паскалем и математиком Пьером де Ферма (Pierre de Fermat, 1601–1665). Обмениваясь письмами, они развивали свои идеи и мысли. Эти взаимодействия положили начало основам современной теории вероятностей. И по сей день многие игроки полагаются на базовые концепции теории вероятностей при принятии решений в азартных играх.

Частоты

Пятикарточные комбинации

В классическом покере и пятикарточном дро, где нет закрытых карт, игроки получают ровно пять карт из колоды из 52 карт.

В таблице ниже указана абсолютная частота каждой комбинации при всех возможных сочетаниях пяти карт, случайно вытянутых из полной колоды без возвращения. Дикие карты не учитываются. В этой таблице:

• **Различные комбинации** — количество разных способов получить комбинацию, не учитывая разные масти. В частности, набор комбинаций, которые равны друг другу, считается ровно один раз.
• **Частота** — количество способов получить комбинацию, включая одинаковые значения в разных мастях.
• **Вероятность** вычисляется делением количества способов получить комбинацию на общее число пятикарточных комбинаций (2 598 960). Например, роял-флеш можно получить 4 способами (по одному для каждой масти), поэтому вероятность составляет 4/2 598 960, или один к 649 740. В среднем такую комбинацию можно ожидать примерно один раз на 649 740 раздач, или около 0,000154% времени.
• **Кумулятивная вероятность** — вероятность получить комбинацию не хуже указанной. Например, вероятность получить тройку составляет примерно 2,11%, а вероятность получить комбинацию не хуже тройки — около 2,87%. Кумулятивная вероятность вычисляется путем сложения вероятности данной комбинации со всеми более старшими комбинациями.
• **Коэффициенты** определяются как отношение количества способов не получить комбинацию к количеству способов её получить. Например, для роял-флеша существует 4 способа его получить и 2 598 956 способов получить что-то другое, поэтому коэффициент против роял-флеша составляет 2 598 956 : 4, или 649 739 : 1.
• Значения вероятности, кумулятивной вероятности и коэффициентов округлены для простоты; значения различных комбинаций и частоты точны.

Роял-флеш является частным случаем стрит-флеша. Его можно составить 4 способами (по одному для каждой масти), что дает вероятность 0,000154% и коэффициент 649 739 : 1.

Когда стриты и стрит-флеши с тузом в качестве младшей карты не учитываются, вероятности каждого из них снижаются: стриты и стрит-флеши становятся в 9/10 раз менее частыми. 4 пропущенных стрит-флеша становятся флешами, а 1 020 пропущенных стритов становятся комбинациями без пары.

Поскольку масти не имеют относительной ценности в покере, две комбинации можно считать идентичными, если одну можно преобразовать в другую путем замены мастей. Например, комбинация 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ идентична 3♦ 7♦ 8♦ Q♥ A♥, так как замена всех треф на бубны и всех пик на черви в первой комбинации дает вторую. Исключив идентичные комбинации с игнорированием относительной ценности мастей, остается только 134 459 различных комбинаций.

Количество различных покерных комбинаций еще меньше. Например, 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ и 3♦ 7♣ 8♦ Q♥ A♥ не являются идентичными при игнорировании распределения мастей, так как в первой комбинации три масти, а во второй — две. Однако, несмотря на это различие, они образуют эквивалентные покерные комбинации, так как обе являются комбинациями старшей карты A-Q-8-7-3. Всего существует 7 462 различные покерные комбинации.

Семикарточные комбинации

В популярных вариантах покера, таких как техасский холдем (Texas hold ’em) — наиболее распространённый вариант покера — игрок использует лучшую пятикарточную комбинацию из семи карт.

Частоты рассчитываются аналогично пятикарточным комбинациям, но с дополнительными сложностями из-за двух дополнительных карт. Общее количество различных семикарточных комбинаций составляет 133 784 560. Примечательно, что вероятность комбинации без пары ниже, чем вероятность одной пары или двух пар.

Роял-флеш (стрит-флеш с тузом) немного более частый (4324 способа), чем более младшие стрит-флеши (по 4140 способов каждый), потому что две оставшиеся карты могут иметь любое значение; например, стрит-флеш с королём не может содержать туза той же масти, так как это превратило бы его в роял-флеш.

Поскольку масти не имеют относительной ценности в покере, две комбинации можно считать идентичными, если одну можно преобразовать в другую путем замены мастей. Исключив идентичные комбинации с игнорированием относительной ценности мастей, остается 6 009 159 различных семикарточных комбинаций.

Количество различных пятикарточных покерных комбинаций, возможных из семи карт, составляет 4 824. Примечательно, что это меньше, чем количество пятикарточных комбинаций из пяти карт, так как некоторые пятикарточные комбинации невозможны при семи картах (например, комбинация со старшей семёркой или восьмёркой).

Пятикарточные комбинации в лоуболе

Некоторые варианты покера, называемые лоуболом (lowball), используют младшую комбинацию для определения выигрышной руки. В большинстве вариантов лоубола туз считается младшей картой, а стриты и флеши не учитываются против младшей комбинации, поэтому самая младшая комбинация — это пятёрка со старшей картой (A-2-3-4-5), также называемая «колесо» (wheel). Вероятность рассчитывается на основе 2 598 960 — общего количества пятикарточных комбинаций.

Как видно из таблицы, чуть более половины времени игрок получает комбинацию без пар, троек или четвёрок (50,7%).

Если тузы не являются младшей картой, просто переместите описания комбинаций так, чтобы шестёрка со старшей картой заменила пятёрку, а туз со старшей картой заменил короля как худшую комбинацию.

Некоторые игроки не игнорируют стриты и флеши при подсчёте младшей комбинации в лоуболе. В этом случае самая младшая комбинация — это A-2-3-4-6 с минимум двумя мастями.

Семикарточные комбинации в лоуболе

В некоторых вариантах покера игрок использует лучшую пятикарточную младшую комбинацию из семи карт. В большинстве вариантов лоубола туз считается младшей картой, а стриты и флеши не учитываются против младшей комбинации, поэтому самая младшая комбинация — это пятёрка со старшей картой (A-2-3-4-5), также называемая «колесо».

Таблица не включает пятикарточные комбинации с минимум одной парой. Строка «Итого» представляет 95,4% случаев, когда игрок может выбрать пятикарточную младшую комбинацию без пары.

Если тузы не являются младшей картой, просто переместите описания комбинаций так, чтобы шестёрка со старшей картой заменила пятёрку, а туз со старшей картой заменил короля как худшую комбинацию.

Как рассчитать вероятность в покере: основные формулы