Теория информации в азартных играх и критерий Келли

Критерий Келли — это математическая формула, которая определяет оптимальный размер ставки на основе вероятности выигрыша и доступной информации. Метод позволяет максимизировать экспоненциальный рост капитала при минимизации риска разорения. Применение теории информации к азартным играм через критерий Келли помогает принимать рациональные решения в условиях неопределённости.

Математический анализ азартных игр

Статистический вывод можно рассматривать как теорию азартных игр, применённую к реальным событиям. Многочисленные приложения логарифмических мер информации помогают принимать оптимальные решения при наличии неполной информации. В этом смысле теория информации может считаться формальным выражением теории азартных игр, поскольку они являются играми случая.

Ставки Келли

Ставки Келли, или пропорциональные ставки, — это применение теории информации к инвестированию и азартным играм. Её разработал Джон Ларри Келли-младший (John Larry Kelly, Jr.).

Ключевая идея Келли заключалась в том, чтобы игрок максимизировал математическое ожидание логарифма своего капитала, а не ожидаемую прибыль от каждой ставки. Это важно, потому что в противном случае игрок был бы вынужден поставить всё, что у него есть, при благоприятной ставке, и в случае проигрыша остался бы без средств для последующих ставок. Келли понял, что именно логарифм капитала игрока является аддитивным при последовательных ставках и подчиняется закону больших чисел.

Дополнительная информация

Бит — это количество энтропии в событии, на которое можно делать ставки, с двумя возможными исходами и равными шансами. Очевидно, мы могли бы удвоить свои деньги, если бы заранее знали результат такого события. Идея Келли состояла в том, что независимо от сложности сценария ставок мы можем использовать оптимальную стратегию ставок, называемую критерием Келли, чтобы наш капитал экспоненциально рос в зависимости от дополнительной информации, которую нам удаётся получить.

Природа дополнительной информации чрезвычайно капризна. Она может влиять как на сам исход события, так и на наше знание о нём. Например, дополнительная информация может касаться лошади, которая получила слишком много овса или недостаточно воды. Та же математика применима и в этом случае, поскольку букмекер уже учитывает редкие случаи манипуляций при установлении коэффициентов.

Предположим, у нас есть информатор, который говорит, что определённая лошадь победит. Мы, конечно, не хотим ставить все свои деньги на эту лошадь только на основании слухов: информатор может делать ставки на другую лошадь и распространять слухи, чтобы получить лучшие коэффициенты для себя. Вместо этого нам нужно оценить надёжность дополнительной информации в долгосрочной перспективе, чтобы увидеть, как она коррелирует с результатами гонок. Таким образом мы можем определить, насколько надёжен наш информатор, и делать ставки, чтобы максимизировать ожидаемый логарифм нашего капитала согласно критерию Келли. Даже если наш информатор нас обманывает, мы всё равно можем получить прибыль от его лжи, если найдём обратную корреляцию между его советами и реальными результатами гонок.

Темп удвоения

Темп удвоения при ставках на скачки показывает, как быстро растёт капитал. Эта величина максимизируется при пропорциональных ставках Келли, при которых доля капитала, поставленная на каждого коня, равна вероятности его победы.

Ожидаемые выигрыши

Существует важное и простое соотношение между объёмом дополнительной информации, которую получает игрок, и ожидаемым экспоненциальным ростом его капитала. При оптимальной стратегии ставок ожидаемый логарифм капитала после t-й ставки равен логарифму начального капитала плюс сумма дополнительной информации, полученной при каждой ставке.

Это уравнение применимо при отсутствии транзакционных издержек или минимальных ставок. Когда эти ограничения действуют (как это неизменно происходит в реальной жизни), возникает другое важное понятие: в игре с отрицательным математическим ожиданием игрок сталкивается с определённой вероятностью полного разорения, известной как сценарий разорения игрока.

Это уравнение было первым применением теории информации Шеннона за пределами парадигмы передачи данных.

Применение самоинформации

Логарифмическая мера вероятности — самоинформация или неожиданность — имеет приложения к анализу коэффициентов. Её два основных преимущества: во-первых, она сводит ничтожно малые вероятности к управляемым числам, во-вторых, складывается, когда вероятности перемножаются.

Например, можно сказать, что количество состояний равно двум в степени количества битов. Если один из 17 миллионов билетов выигрывает, то неожиданность выигрыша при одном случайном выборе составляет примерно 24 бита. Несколько раз подбросив 24 монеты, вы получите представление о том, насколько маловероятно выпадение орла при первом броске.

Аддитивная природа этой меры также полезна при сравнении альтернатив. Например, если неожиданность вреда от вакцины составляет 20 битов, неожиданность заражения болезнью без неё — 16 битов, а неожиданность вреда от самой болезни — 2 бита, то неожиданность вреда от отказа от вакцинации составляет всего 16+2=18 битов.

Применение в азартных играх

Теория информации — это способ количественной оценки информации для принятия наилучшего решения при неполной информации. Суть ставок состоит в рациональной оценке всех релевантных переменных неопределённой игры, гонки или матча и сравнении их с оценками букмекера, которые обычно выражаются в виде коэффициентов или спредов.

Область азартных игр, где это наиболее применимо, — спортивные ставки. Спортивный анализ хорошо подходит для теории информации благодаря наличию статистических данных. На протяжении многих лет экономисты тестировали различные математические теории, используя спорт в качестве лаборатории, с весьма различающимися результатами.

Одна из теорий спортивных ставок заключается в том, что это случайное блуждание. Случайное блуждание — это сценарий, при котором новая информация, цены и доходы колеблются случайно. Это часть гипотезы эффективного рынка, которая предполагает, что рынок всегда адаптируется к новой информации. Однако для эффективного рынка необходимо выполнение трёх условий:

• Отсутствие транзакционных издержек при торговле ценными бумагами
• Вся доступная информация бесплатно доступна всем участникам рынка
• Все согласны с тем, как текущая информация влияет на цены и распределение будущих цен каждой ценной бумаги

Статистики показали, что именно третье условие позволяет применять теорию информации в спортивном анализе. Когда участники не согласны в том, как информация повлияет на исход события, возникают различные мнения.

Как работает критерий Келли в азартных играх