Теорема Мортона в покере

📋 Краткое описание
Теорема Мортона — принцип покера, согласно которому в многосторонних банках игрок с лучшей рукой может заработать больше, если противник правильно сбросит карты, чем если неправильно уравняет. Это противоречит фундаментальной теореме покера и объясняет стратегию сокращения поля.

Принцип в покере. Не путать с теоремой Нортона.

Теорема Мортона (Morton’s theorem) — принцип покера, сформулированный Энди Мортоном (Andy Morton) в группе новостей Usenet, посвящённой покеру. Она гласит, что в банках с несколькими участниками математическое ожидание игрока может быть максимизировано благодаря правильному решению противника.

Наиболее распространённое применение теоремы Мортона возникает, когда один игрок держит лучшую руку, но у двух или более противников есть ауты. В этом случае игрок с лучшей рукой может заработать больше денег в долгосрочной перспективе, когда противник сбросит карты в ответ на ставку, даже если этот противник принимает правильное решение и для него было бы ошибкой уравнивать ставку. Такие ситуации иногда называют неявным сговором.

Теорема Мортона контрастирует с фундаментальной теоремой покера, которая гласит, что игрок хочет, чтобы его противники принимали решения, минимизирующие их собственное математическое ожидание. Эти две теоремы различаются при наличии более одного противника: в то время как фундаментальная теорема всегда применима в игре один на один, она не всегда применима в банках с несколькими участниками.

Применимость теоремы Мортона в многосторонних ситуациях остаётся предметом споров. Мортон выражал убеждение, что его теорема универсально применима в банках с несколькими участниками, поэтому фундаментальная теорема редко применима, кроме игры один на один.

Пример

Следующий пример приписывается Мортону, который впервые опубликовал его версию в группе новостей rec.gambling.poker.

Предположим, в лимитированном Техасском холдеме игрок по имени Арнольд держит A♦K♣, а на флопе выходят K♠9♥3♥, что даёт ему старшую пару с лучшим кикером. После завершения торговли на флопе у Арнольда остаются два противника: Бренда и Чарльз. Арнольд уверен, что у Бренды есть натсовый флеш-дро (например A♥J♥, что даёт ей 9 аутов), а он считает, что у Чарльза вторая пара со случайным кикером (например Q♣9♣, 4 аута — не Q♥). Остальные карты колоды приносят победу Арнольду. Карта терна оказывается нейтральной (например 6♦), и размер банка в этот момент составляет P, выраженный в больших ставках.

Когда Арнольд делает ставку на терне, Бренда, держащая флеш-дро, обязательно уравняет и почти наверняка получает правильные шансы банка для этого. После того как Бренда уравняет, Чарльз должен решить, уравнивать или сбросить карты. Чтобы определить, какое действие ему следует выбрать, мы рассчитываем его математическое ожидание в каждом случае. Это зависит от количества карт из оставшихся 42, которые дадут ему лучшую руку, и текущего размера банка. (Здесь, как и в аргументах, касающихся фундаментальной теоремы, мы предполагаем, что каждый игрок имеет полную информацию о картах противников.)

E[Чарльз | сброс] = 0

E[Чарльз | уравнивание] = (4/42)·(P+2) − (38/42)·1

Чарльз ничего не выигрывает и не проигрывает при сбросе. При уравнивании он выигрывает банк в 4/42 случаев и проигрывает одну большую ставку в остальных случаях. Приравняв эти два ожидания и решив уравнение относительно P, мы можем определить размер банка, при котором он безразличен к уравниванию или сбросу:

E[Чарльз | сброс] = E[Чарльз | уравнивание]

⇒ P = 7,5 больших ставок

Когда банк больше этого, Чарльзу следует продолжать; в противном случае в его интересах сбросить карты.

Чтобы определить, какое действие Чарльза предпочёл бы Арнольд, мы рассчитываем математическое ожидание Арнольда аналогичным образом:

E[Арнольд | Чарльз сбрасывает] = (42−9)/42·(P+2) = (33/42)·(P+2)

E[Арнольд | Чарльз уравнивает] = (42−9−4)/42·(P+3) = (29/42)·(P+3)

Математическое ожидание Арнольда в каждом случае зависит от размера банка (другими словами, от шансов банка, которые получает Чарльз при рассмотрении своего уравнивания). Приравняв эти два значения, мы можем рассчитать размер банка P, при котором Арнольд безразличен к уравниванию или сбросу Чарльза:

E[Арнольд | Чарльз уравнивает] = E[Арнольд | Чарльз сбрасывает]

⇒ P = 5,25 больших ставок

Когда банк меньше этого, Арнольд получает прибыль, когда Чарльз гонится за аутами, но когда банк больше этого, математическое ожидание Арнольда выше, когда Чарльз сбрасывает вместо того, чтобы гнаться за аутами.

Следовательно, существует диапазон размеров банка, где оба условия верны:

(a) для Чарльза правильно сбросить карты, и

(b) Арнольд зарабатывает больше денег, когда Чарльз (правильно) сбрасывает, чем когда он (неправильно) гонится за аутами.

Это можно увидеть графически ниже:

«`

Ч ДОЛЖЕН СБРОСИТЬ | Ч ДОЛЖЕН УРАВНЯТЬ

ХОЧЕТ, ЧТО Ч УРАВНЯЛ | ХОЧЕТ, ЧТО Ч СБРОСИЛ

+—+—+—+—+—+—+—+—+—> размер банка P в больших ставках

0 1 2 3 4 5 6 7 8

XXXXXXXXXX

«ПАРАДОКСАЛЬНЫЙ РЕГИОН»

«`

Диапазон размеров банка, отмеченный X, — это область, где Арнольд хочет, чтобы Чарльз (Ч) правильно сбросил карты, потому что он теряет математическое ожидание, когда Чарльз неправильно уравнивает.

Анализ

По сути, в приведённом выше примере, когда Чарльз уравнивает в «парадоксальном регионе», он платит слишком высокую цену за свой слабый дро, но Арнольд больше не является единственным получателем этой высокой цены — Бренда теперь забирает деньги Чарльза в те моменты, когда Бренда собирает свой флеш-дро. По сравнению со случаем, когда Арнольд играет один на один с Чарльзом, Арнольд по-прежнему рискует потерять весь банк, но он больше не получает 100% компенсации за неправильные уравнивания Чарльза.

Именно существование этого среднего региона размеров банка, где игрок хочет, чтобы по крайней мере некоторые из его противников правильно сбросили карты, объясняет стандартную покерную стратегию сокращения поля как можно больше, когда игрок считает, что держит лучшую руку. Даже противники с неправильными дро обходятся игроку дороже, когда они уравнивают его ставки, потому что часть этих уравниваний попадает в стеки других противников, которые гонятся за аутами против них.

Поскольку Арнольд теряет математическое ожидание из-за уравнивания Чарльза, следует, что совокупность всех остальных противников (то есть Бренда и Чарльз) должна получать прибыль от уравнивания Чарльза. Другими словами, если бы Бренда и Чарльз встретились на парковке после игры и разделили свою прибыль, они бы сговаривались против Арнольда. Это иногда называют неявным сговором. Это следует отличать от того, что иногда называют стайным поведением. Стайное поведение возникает, когда много противников правильно уравнивают против игрока с лучшей рукой, тогда как неявный сговор возникает, когда противник неправильно уравнивает против игрока с лучшей рукой.

Один из выводов теоремы Мортона состоит в том, что в слабой игре в холдем ценность одномастных рук возрастает, потому что это именно тот тип рук, которые будут получать выгоду от неявного сговора.

🔑 Ключевые факты

Теорема Мортона сформулирована Энди Мортоном в группе Usenet rec.gambling.poker
В многосторонних банках игрок может получить прибыль от правильного сброса противника, а не от его ошибки
Существует ‘парадоксальный регион’ размеров банка, где противник должен сбросить, но игрок хочет, чтобы он это сделал
Теорема контрастирует с фундаментальной теоремой покера, которая применима только в игре один на один
Неправильное уравнивание слабого дро в многосторонних банках создаёт ‘неявный сговор’ против игрока с лучшей рукой
Ценность одномастных рук возрастает в слабой игре благодаря неявному сговору
Теорема объясняет стратегию сокращения поля при наличии лучшей руки

❓ Часто задаваемые вопросы

Что такое теорема Мортона в покере?

Теорема Мортона — это принцип, согласно которому в многосторонних банках игрок с лучшей рукой может получить большее математическое ожидание, если противник правильно сбросит карты, чем если неправильно уравняет. Это происходит потому, что неправильное уравнивание выгодно другим противникам, а не игроку с лучшей рукой.

Чем теорема Мортона отличается от фундаментальной теоремы покера?

Фундаментальная теорема гласит, что игрок хочет, чтобы противники принимали решения, минимизирующие их ожидание. Теорема Мортона показывает, что в многосторонних банках это не всегда верно — иногда игрок предпочитает, чтобы противник правильно сбросил карты, даже если это минимизирует его потери.

Что такое ‘парадоксальный регион’ в теореме Мортона?

Парадоксальный регион — это диапазон размеров банка, где противник должен правильно сбросить карты, но игрок с лучшей рукой получает большее ожидание именно от этого сброса, чем от неправильного уравнивания. В этом регионе интересы игрока и его противника совпадают.

Что такое неявный сговор в покере?

Неявный сговор — это ситуация, когда несколько противников игрока с лучшей рукой получают коллективную прибыль от неправильного уравнивания одного из них. Если бы они разделили прибыль, это был бы явный сговор, но в реальной игре они действуют независимо.

Как теорема Мортона влияет на стратегию в холдеме?

Теорема Мортона объясняет, почему нужно сокращать поле, когда у вас лучшая рука. Даже противники с неправильными дро обходятся вам дороже в многосторонних банках, потому что часть их уравниваний попадает в стеки других противников, которые также гонятся за аутами.

💡 Интересные факты

Теорема Мортона была впервые опубликована в группе новостей Usenet, а не в академическом журнале, что показывает, как интернет-сообщества покеристов развивали теорию игры
Ценность одномастных рук (suited connectors) значительно возрастает в слабой игре именно благодаря неявному сговору, описанному теоремой Мортона
Теорема Мортона остаётся предметом споров среди профессионалов покера — не все согласны с её универсальной применимостью в многосторонних банках

🔗 Связанные темы

Фундаментальная теорема покераМатематическое ожидание в покереАуты и шансы банкаСтратегия игры в холдемеТеория игр в покереПозиция в покереАнализ рук в покере