Санкт-Петербургский парадокс: объяснение и решения

Санкт-Петербургский парадокс — это знаменитая задача теории вероятностей, которая демонстрирует противоречие между математическими расчётами и реальным поведением человека. В этой игре математическое ожидание выигрыша стремится к бесконечности, однако участники готовы платить лишь небольшую сумму за участие. Парадокс показывает, почему люди не всегда принимают решения, основываясь только на числовых ожиданиях.

Санкт-Петербургский парадокс, или Санкт-Петербургская лотерея — это парадокс, возникающий в игре с подбрасыванием монеты, где математическое ожидание выигрыша бесконечно, однако участникам игра кажется стоящей лишь небольшую сумму. Парадокс демонстрирует несоответствие между наивным критерием решения, основанным только на математическом ожидании, и тем, что реально готовы делать люди. Предложено несколько объяснений парадокса, включая невозможность для казино иметь достаточно средств для бесконечного продолжения игры.

Задача была сформулирована Николаем Бернулли (Nicolas Bernoulli), который описал её в письме Пьеру Раймону де Монмору 9 сентября 1713 года. Однако парадокс получил своё название благодаря анализу, проведённому кузеном Николая — Даниилом Бернулли (Daniel Bernoulli), который некоторое время жил в Санкт-Петербурге и в 1738 году опубликовал свои размышления о проблеме в журнале Императорской академии наук Санкт-Петербурга.

Санкт-Петербургская игра

Казино предлагает игру одному игроку, в которой на каждом этапе подбрасывается честная монета. Начальная ставка составляет 2 доллара и удваивается каждый раз, когда выпадает решка. Игра заканчивается, когда выпадает орёл, и игрок получает текущую ставку. Таким образом, игрок выигрывает 2 доллара при орле на первом бросании, 4 доллара при решке на первом и орле на втором, 8 долларов при решках на первых двух бросаниях и орле на третьем, и так далее. Математически игрок выигрывает 2^(k+1) долларов, где k — количество последовательных решек. Какую справедливую цену следует назначить за участие в игре?

Для ответа нужно рассчитать ожидаемый выигрыш на каждом этапе: с вероятностью 1/2 игрок выигрывает 2 доллара; с вероятностью 1/4 — 4 доллара; с вероятностью 1/8 — 8 долларов и так далее. Если предположить, что игра может продолжаться неограниченно и казино имеет бесконечные ресурсы, то математическое ожидание равно бесконечности.

Парадокс

Если руководствоваться только математическим ожиданием изменения своего богатства, то следовало бы играть при любой цене входа. Однако Даниил Бернулли, описав игру с начальной ставкой в один дукат, заметил, что любой разумный человек с удовольствием продал бы свой шанс на двадцать дукатов. Современные исследователи отмечают, что немногие согласились бы заплатить даже 25 долларов за участие в такой игре. Парадокс состоит в расхождении между бесконечным математическим ожиданием и тем, что люди реально готовы платить.

Решения

Предложено несколько подходов к разрешению парадокса.

Теория ожидаемой полезности

Классическое решение парадокса основано на введении функции полезности, гипотезе ожидаемой полезности и предположении об убывающей предельной полезности денег.

По мнению Даниила Бернулли, стоимость предмета должна определяться не его ценой, а приносимой им полезностью. Тысяча дукатов имеет большее значение для бедняка, чем для богатого человека, хотя сумма одинакова.

Даниил Бернулли предложил логарифмическую функцию полезности U(w) = ln(w), где w — общее богатство игрока. Эта функция встраивает концепцию убывающей предельной полезности денег. Гипотеза ожидаемой полезности предполагает, что существует функция полезности, которая хорошо описывает поведение людей. Для каждого возможного события изменение полезности взвешивается по вероятности этого события. При логарифмической полезности миллионер должен быть готов заплатить примерно 20,88 доллара, человек с тысячей долларов — около 10,95 доллара.

До публикации Даниила Бернулли в 1738 году математик Габриэль Крамер (Gabriel Cramer) из Женевской республики уже в 1728 году предложил похожую идею, предположив, что люди оценивают деньги не по количеству, а по их полезности. Он показал, что функция квадратного корня, описывающая убывающую предельную полезность, может разрешить парадокс.

Однако это решение не полностью удовлетворительно, так как игру можно модифицировать так, чтобы парадокс возник снова. Для этого достаточно увеличить темп роста выигрышей. Для любой неограниченной функции полезности можно найти лотерею, воспроизводящую вариант Санкт-Петербургского парадокса.

Взвешивание вероятностей

Сам Николай Бернулли предложил альтернативное объяснение: люди игнорируют маловероятные события. Поскольку в Санкт-Петербургской лотерее высокие выигрыши связаны именно с маловероятными событиями, это могло бы разрешить парадокс. Идея взвешивания вероятностей позже возникла в теории перспектив Даниила Канемана (Daniel Kahneman) и Амоса Тверского (Amos Tversky).

Кумулятивная теория перспектив — популярное обобщение теории ожидаемой полезности, которое может предсказать многие поведенческие закономерности. Однако переоценка малых вероятностей в этой теории может восстановить Санкт-Петербургский парадокс. Парадокс избегается только если показатель степени функции полезности ниже показателя функции взвешивания вероятностей.

Конечные Санкт-Петербургские лотереи

Классическая версия предполагает бесконечные ресурсы казино, что нереалистично. Алексис Фонтен де Бертен (Alexis Fontaine des Bertins) указал в 1754 году, что ресурсы любого банкира конечны. Более того, математическое ожидание растёт логарифмически с ростом капитала казино. В 1777 году Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон (Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon) рассчитал, что после 29 раундов игры денег во всём Французском королевстве было бы недостаточно для покрытия ставки.

Если казино имеет конечный капитал W, то максимальное число раундов L = ⌊log(W)⌋, и математическое ожидание выигрыша становится равным L, что намного скромнее.

Игнорирование маловероятных событий

Бюффон утверждал, что теория рационального поведения должна соответствовать тому, что люди делают на практике. Поскольку разумные люди игнорируют достаточно маловероятные события, рациональный субъект должен поступать так же. Он предложил пороговую вероятность 1/10 000, ниже которой события можно игнорировать. При таком предположении Санкт-Петербургская игра имеет ожидаемый выигрыш всего 13 долларов.

Отказ от максимизации математического ожидания

Различные авторы, включая Жана д’Аламбера (Jean le Rond d’Alembert) и Джона Мейнарда Кейнса (John Maynard Keynes), отвергали максимизацию ожидания как надлежащее правило поведения. Кейнс настаивал, что относительный риск альтернативы может быть достаточно высок, чтобы её отклонить, даже если её ожидание огромно. Недавно некоторые исследователи предложили использовать медиану вместо математического ожидания.

Эргодичность

Раннее решение, содержащее существенные математические аргументы, основанные на мультипликативной динамике, предложил в 1870 году Уильям Аллен Уитворт (William Allen Whitworth). Явную связь с проблемой эргодичности установил Петерс в 2011 году. Эти решения математически похожи на использование критерия Келли или логарифмической полезности.

Современные обсуждения

Феллер

Уильям Феллер (William Feller) предложил решение, основанное на выборке: нужно провести игру с большим числом людей и рассчитать ожидаемое значение из выборки. При бесконечном числе игр ожидание остаётся бесконечным, но при конечном числе оно становится намного меньше.

Самуэльсон

Пол Самуэльсон (Paul Samuelson) разрешает парадокс, утверждая, что даже если бы казино имело бесконечные ресурсы, оно никогда не предложило бы такую игру. Если лотерея представляет бесконечный ожидаемый выигрыш для игрока, то она представляет бесконечный ожидаемый убыток для хозяина. Никто не будет наблюдать, как люди платят за такую игру, потому что она никогда не будет предложена.

Варианты

Предложено много вариантов Санкт-Петербургской игры для опровержения предложенных решений. Например, «Пасаденская игра» имеет ожидаемую полезность, зависящую от порядка суммирования, что показывает недостаточность стандартной теории решений.

Применение моделей принятия решений из количественной торговли

Один из подходов к разрешению парадокса — использование параметров, связанных с когнитивными аспектами стратегии. Этот подход развивался при изучении неэргодических систем в финансах. Показано, что стратегия удвоения ставок не использует полезную информацию о системе и не отличается от случайной стратегии с постоянной ставкой.

Парадокс долгожителя

Похожая дилемма — парадокс долгожителя — рассматривает вопрос о рациональности ставки на то, что t-летний человек проживёт ещё Δt лет. Парадокс возникает потому, что теоретически вероятность выживания кажется очень высокой для любого возраста при достаточно малом временном интервале, но редкие события (выживание до очень преклонного возраста) критически влияют на теоретический расчёт, хотя практически они почти невозможны. Это отражает ту же проблему, что и Санкт-Петербургский парадокс: редкие события имеют огромное влияние на математическое ожидание, но практически незначимы для реального принятия решений.

Что такое Санкт-Петербургский парадокс