Разорение игрока: теория вероятностей и азартные игры

Разорение игрока — это фундаментальная концепция теории вероятностей, которая доказывает неизбежность финансового краха любого игрока, участвующего в игре с отрицательным математическим ожиданием. Независимо от системы ставок и размера начального капитала, математика работает против игрока. В этой статье мы разберём, почему казино всегда выигрывает и как работает эта безжалостная теория.

Концепция в теории вероятностей и азартных играх

В статистике разорение игрока — это факт, что игрок, участвующий в игре с неположительным математическим ожиданием, в конечном итоге разорится, независимо от его системы ставок.

Концепция была первоначально сформулирована следующим образом: постоянный игрок, который увеличивает свою ставку на фиксированную долю своего капитала после выигрыша, но не снижает её после проигрыша, в конечном итоге неизбежно разорится, даже если каждая ставка имеет положительное математическое ожидание.

Другая формулировка концепции гласит, что постоянный игрок с конечным капиталом, играющий в честную игру (то есть каждая ставка имеет нулевое математическое ожидание для обеих сторон), в конечном итоге неизбежно разорится против противника с бесконечным капиталом. Такую ситуацию можно моделировать случайным блужданием на числовой прямой. В этом контексте с практической уверенностью игрок вернётся в исходную точку, что означает разорение, и будет разорён бесконечное число раз, если случайное блуждание продолжается вечно. Это следствие общей теоремы Христиана Гюйгенса (Christiaan Huygens), которая также известна как разорение игрока. Эта теорема показывает, как вычислить вероятность выигрыша каждого игрока в серии ставок, которая продолжается до тех пор, пока один из них не потеряет весь свой начальный капитал, учитывая начальные ставки обоих игроков и постоянную вероятность выигрыша. Это самая древняя математическая идея, известная под названием разорение игрока, но не первая идея, к которой было применено это название. Современное общепринятое использование термина — это ещё одно следствие результата Гюйгенса.

Концепция имеет особое значение для азартных игроков. Однако она также приводит к математическим теоремам с широким применением и многочисленным связанным результатам в теории вероятностей и статистике. Результат Гюйгенса, в частности, привёл к важным достижениям в математической теории вероятностей.

История

Самое раннее известное упоминание о проблеме разорения игрока содержится в письме Блеза Паскаля (Blaise Pascal) Пьеру Ферма (Pierre Fermat) в 1656 году (через два года после более известной переписки о проблеме точек). Версия Паскаля была резюмирована в письме Пьера де Карави (Pierre de Carcavi) Гюйгенсу в 1656 году:

Пусть два человека играют с тремя костями. Первый игрок получает очко каждый раз, когда выпадает 11, а второй — когда выпадает 14. Но вместо того чтобы очки накапливались обычным образом, очко добавляется к счёту игрока только если счёт его противника равен нулю, в противном случае оно вычитается из счёта противника. Это как если бы противоположные очки образовывали пары и уничтожали друг друга, так что отстающий игрок всегда имеет нулевой счёт. Победителем является первый, кто достигнет двенадцати очков. Каковы относительные шансы каждого игрока на победу?

Гюйгенс переформулировал задачу и опубликовал её в «De ratiociniis in ludo aleae» («О рассуждениях в азартных играх», 1657):

Задача (2-1): Каждый игрок начинает с 12 очками. Успешный бросок трёх костей для игрока (выпадение 11 для первого игрока или 14 для второго) добавляет одно очко этому игроку и вычитает одно очко у другого игрока. Проигравший — первый, кто достигнет нуля очков. Какова вероятность победы для каждого игрока?

Это классическая формулировка разорения игрока: два игрока начинают с фиксированными ставками и передают очки друг другу до тех пор, пока один из них не будет «разорён», достигнув нуля очков. Однако термин «разорение игрока» был применён намного позже.

Проблема разорения игрока часто применяется к игрокам с конечным капиталом, играющим против букмекера или казино, предполагаемых имеющими «бесконечный» или намного больший капитал. Можно доказать, что вероятность неизбежного разорения игрока стремится к 1, даже в сценарии, когда игра честная или математически определяется как мартингал.

Причины четырёх результатов

Пусть d — сумма денег, которой располагает игрок в любой момент времени, и пусть N — любое положительное целое число. Предположим, что он увеличивает свою ставку до d/N при выигрыше, но не снижает её при проигрыше (довольно распространённый паттерн среди реальных игроков). При такой системе ставок потребуется максимум N подряд идущих проигрышей, чтобы разорить его. Если вероятность выигрыша каждой ставки меньше 1 (если она равна 1, то это не азартная игра), он практически гарантированно в конечном итоге потеряет N ставок подряд, какой бы большой ни была N. Необязательно следовать точному правилу, достаточно, чтобы он увеличивал ставку достаточно быстро при выигрышах. Это верно даже если математическое ожидание каждой ставки положительно.

Игрок, участвующий в честной игре (с вероятностью 1/2 выигрыша), в конечном итоге либо разорится, либо удвоит свой капитал. По симметрии у него есть вероятность 1/2 разориться до того, как удвоить свои деньги. Если он удвоит свои деньги, он повторит этот процесс и снова имеет вероятность 1/2 удвоить свои деньги до разорения. После второго процесса у него есть вероятность (1/2)² = 1/4 того, что он ещё не разорился. Продолжая таким образом, его вероятность не разориться после n процессов составляет (1/2)ⁿ, которая стремится к 0, а его вероятность разориться после n последовательных процессов составляет сумму от i=1 до n (1/2)ⁱ, которая стремится к 1.

Результат Гюйгенса иллюстрируется в следующем разделе.

Конечная судьба игрока в игре с отрицательным математическим ожиданием не может быть лучше, чем у игрока в честной игре, поэтому он также разорится.

Пример результата Гюйгенса

Честное подбрасывание монеты

Рассмотрим игру с подбрасыванием монеты между двумя игроками, где каждый имеет 50% шанс выигрыша при каждом подбрасывании. После каждого подбрасывания проигравший передаёт один пенни победителю. Игра заканчивается, когда один игрок получает все пенни.

Если нет других ограничений на количество подбрасываний, вероятность того, что игра в конечном итоге закончится таким образом, равна 1. (Один способ увидеть это следующий: любая конечная последовательность орлов и решек в конечном итоге выпадет с уверенностью: вероятность не увидеть эту последовательность, хотя вначале высока, экспоненциально убывает. В частности, игроки в конечном итоге выбросят последовательность орлов такой же длины, как общее количество пенни в игре, к которому времени игра уже должна была закончиться.)

Если первый игрок имеет n₁ пенни, а второй — n₂ пенни, вероятности P₁ и P₂ того, что первый и второй игроки соответственно разорятся, равны:

P₁ = n₂/(n₁+n₂)

P₂ = n₁/(n₁+n₂)

Два примера: когда один игрок имеет больше пенни, чем другой, и когда оба игрока имеют одинаковое количество пенни.

В первом случае предположим, что первый игрок имеет 8 пенни, а второй — 5 пенни. Тогда вероятность разорения каждого:

P₁ = 5/(8+5) = 5/13 = 0,3846 или 38,46%

P₂ = 8/(8+5) = 8/13 = 0,6154 или 61,54%

Отсюда следует, что даже при равных шансах на выигрыш игрок, начинающий с меньшим количеством пенни, более вероятно разорится.

Во втором случае, когда оба игрока имеют одинаковое количество пенни (в этом случае 6), вероятность разорения каждого:

P₁ = 6/(6+6) = 6/12 = 1/2 = 0,5

P₂ = 6/(6+6) = 6/12 = 1/2 = 0,5

Нечестное подбрасывание монеты

В случае нечестной монеты, где первый игрок выигрывает каждый бросок с вероятностью p, а второй — с вероятностью q = 1 − p, вероятность разорения каждого:

P₁ = (1−(p/q)^n₂)/(1−(p/q)^(n₁+n₂))

P₂ = (1−(q/p)^n₁)/(1−(q/p)^(n₁+n₂))

Один из подходов состоит в том, что ожидаемое время достижения конечно, и поэтому с мартингалом, связывая значение (q/p)ˡ с каждым состоянием так, чтобы ожидаемое значение состояния было постоянным, это решение системы уравнений:

P₁ + P₂ = 1

(q/p)^n₁ = P₁ + P₂(q/p)^(n₁+n₂)

Альтернативно, это можно показать следующим образом: рассмотрим вероятность разорения первого игрока, начинающего с суммой n > 1, P(Rₙ). Затем, используя закон полной вероятности, имеем:

P(Rₙ) = P(Rₙ|W)P(W) + P(Rₙ|W̄)P(W̄),

где W обозначает событие, что первый игрок выигрывает первую ставку. Тогда ясно, что P(W) = p и P(W̄) = 1 − p = q. Также P(Rₙ|W) = P(Rₙ₊₁) — это вероятность того, что первый игрок разорится, начиная с суммой n+1, и P(Rₙ|W̄) = P(Rₙ₋₁) — это вероятность того, что первый игрок разорится, начиная с суммой n−1.

Обозначив qₙ = P(Rₙ), получаем линейное однородное рекуррентное соотношение:

qₙ = qₙ₊₁p + qₙ₋₁q,

которое можно решить, используя тот факт, что q₀ = 1 (то есть вероятность разорения при условии, что первый игрок начинает без денег, равна 1), и qₙ₁₊ₙ₂ = 0 (то есть вероятность разорения при условии, что первый игрок начинает со всеми деньгами, равна 0). Для более подробного описания метода см., например, Феллер (Feller) (1970), «Введение в теорию вероятностей и её приложения», 3-е издание.

Проблема разорения N игроков

Описанная выше проблема (2 игрока) является частным случаем так называемой проблемы разорения N игроков.

Здесь N ≥ 2 игроков с начальным капиталом x₁, x₂, …, xₙ долларов соответственно играют последовательность (произвольных) независимых игр и выигрывают и проигрывают определённые суммы денег друг другу согласно фиксированным правилам. Последовательность игр заканчивается, как только разорится хотя бы один игрок. В принципе, стандартные методы цепей Маркова можно применить для решения этой более общей проблемы, но вычисления быстро становятся непомерными, как только увеличивается количество игроков или их начальный капитал. Для N = 2 и больших начальных капиталов x₁, x₂ решение можно хорошо аппроксимировать, используя двумерное броуновское движение. (Для N ≥ 3 это невозможно.)

На практике истинная проблема состоит в поиске решения для типичных случаев N ≥ 3 и ограниченного начального капитала. Свон (Swan) (2006) предложил алгоритм, основанный на матрично-аналитических методах (алгоритм складывания для проблем разорения), который значительно снижает порядок вычислительной задачи в таких случаях.

Разорение игрока: математическое доказательство неизбежности проигрыша