Процесс CKLS: моделирование ставок

Процесс CKLS — это фундаментальный стохастический процесс, применяемый в финансовой математике для моделирования динамики процентных ставок. Он представляет собой обобщение классического процесса Орнштейна–Уленбека и охватывает множество известных моделей как частные случаи, что делает его универсальным инструментом для оценки производных инструментов и анализа временной структуры ставок.

Стохастический процесс с приложениями в финансах

В математике процесс Чана–Каролии–Лонгстаффа–Сандерса (сокращённо CKLS) — это стохастический процесс, применяемый в финансовой математике. В частности, он используется для моделирования временной структуры процентных ставок. Процесс CKLS можно рассматривать как обобщение процесса Орнштейна–Уленбека. Он назван в честь К. К. Чана (K. C. Chan), Э. Э. Каролии (G. Andrew Karolyi), Ф. А. Лонгстаффа (Francis A. Longstaff) и Э. Б. Сандерса (Anthony B. Sanders), опубликовавших свою работу в 1992 году.

Определение

Процесс CKLS Xt определяется следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

dXt = (α + βXt)dt + σXtγ dWt

где Wt обозначает винеровский процесс. Процесс CKLS имеет эквивалентное определение:

dXt = −k(Xt − a)dt + σXtγ dWt

Свойства

• CKLS является примером процесса с возвратом к среднему
• Производящая функция моментов (MGF) величины Xt^(2(1−γ)) имеет особенность в критической точке, независимую от γ. Кроме того, MGF можно представить как MGF модели CIR плюс слагаемое, являющееся решением нелинейного дифференциального уравнения в частных производных
• Уравнение CKLS имеет единственное решение по траекториям
• Цай и Ван (2015) вывели центральную предельную теорему и принцип больших отклонений для модели CKLS при изучении её асимптотического поведения
• CKLS называют моделью, однородной по времени, так как обычно параметры α, β, σ, γ считаются независимыми от времени
• CKLS также называют однофакторной моделью

Частные случаи

Многие модели процентных ставок и модели краткосрочных ставок являются частными случаями процесса CKLS, которые получаются путём установки параметров модели на конкретные значения. Во всех случаях предполагается, что σ положительно.

Финансовые приложения

Процесс CKLS часто используется для моделирования динамики процентных ставок и оценки облигаций, опционов на облигации, валютных курсов, ценных бумаг и других опционов, производных инструментов и условных требований. Он также применялся при оценке кредитного риска и фиксированного дохода, а также комбинировался с другими методами анализа временных рядов, такими как модели класса GARCH.

В литературе изучается вопрос о том, как устанавливать параметры модели, в частности параметр эластичности γ. Для измерения параметров модели CKLS используются методы робастной статистики и непараметрического оценивания.

В своей оригинальной работе авторы CKLS утверждали, что эластичность волатильности процентных ставок составляет 1,5 на основе исторических данных — результат, который широко цитируется. Они также показали, что модели с γ ≥ 1 могут более точно моделировать краткосрочные процентные ставки, чем модели с γ < 1.

Более поздние эмпирические исследования Блисса и Смита показали обратное: иногда меньшие значения γ (например, 0,5) в модели CKLS могут более точно отражать зависимость волатильности по сравнению с большими значениями γ. Кроме того, переопределив период режима, Блисс и Смит обнаружили свидетельства смены режима в Федеральной резервной системе между 1979 и 1982 годами. Они нашли подтверждение модели квадратного корня Кокса–Ингерсолла–Росса (CIR SR), частного случая модели CKLS с γ = 1/2.

Период 1979–1982 годов ознаменовал изменение денежно-кредитной политики Федеральной резервной системы, и эта смена режима часто изучается в контексте моделей CKLS.

Что такое процесс CKLS и его применение в финансах