Парадокс Пребстинга: критерий Келли — Gamblipedia

Парадокс азартных игр

В теории вероятностей парадокс Пребстинга — это аргумент, который кажется доказывающим, что критерий Келли может привести к разорению. Хотя его можно разрешить математически, он поднимает интересные вопросы о практическом применении критерия Келли, особенно в инвестировании. Парадокс был назван и впервые обсужден Эдвардом О. Торпом (Edward O. Thorp) в 2008 году. Его назвали в честь Тодда Пребстинга (Todd Proebsting), автора парадокса.

Формулировка парадокса

Если ставка с равной вероятностью выигрыша или проигрыша приносит в b раз больше поставленной суммы при выигрыше, то ставка по критерию Келли составляет:

f∗ = (b−1)/(2b)

от всего капитала. Например, если ставка 50/50 с коэффициентом 2 к 1, критерий Келли рекомендует поставить 25% капитала. Если ставка 50/50 с коэффициентом 5 к 1, следует поставить 40% капитала.

Предположим, игрок получает предложение со ставкой 2 к 1 и ставит 25%. Что ему делать, если коэффициент новых ставок изменится на 5 к 1? Он должен выбрать f*, максимизирующий выражение:

0.5ln(1.5+5f∗)+0.5ln(0.75−f∗)

потому что при выигрыше у него будет 1.5 (0.5 от выигрыша первой ставки 25% с коэффициентом 2 к 1) плюс 5f*; при проигрыше он потеряет 0.25 от первой ставки и f* от второй. Взяв производную по f* и приравняв её к нулю, получим:

5(0.75−f∗)=1.5+5f∗

что можно переписать как:

2.25=10f∗

Таким образом, f* = 0.225.

Парадокс в том, что общая ставка 0.25 + 0.225 = 0.475 больше, чем 0.4 — ставка по Келли, если бы коэффициент 5 к 1 был предложен с самого начала. Кажется странным ставить больше, когда часть ставки сделана при менее выгодных коэффициентах. Тодд Пребстинг отправил письмо Эду Торпу с вопросом об этом.

Эд Торп понял, что идею можно расширить так, чтобы показать ненулевую вероятность разорения игрока, следующего критерию Келли. Он показал, что если игроку предлагаются последовательно коэффициенты 2 к 1, затем 4 к 1, затем 8 к 1 и так далее (2 к 1 для n = 1 до бесконечности), то критерий Келли рекомендует ставить:

3^(n−1)/4^n

каждый раз. Сумма всех этих ставок равна 1. Таким образом, игрок, следующий критерию Келли, имеет 50% вероятность потерять весь капитал.

В общем случае, если игрок делает ставку по Келли на предложение 50/50 с коэффициентом b, а затем ему предлагают коэффициент b₂, его общая ставка составит:

f∗ = (b₂−1)/(2b₂) + (b₁−1)/4 × (1/f₁ − 1/f₂)

Первый член — это то, что игрок поставил бы, если бы коэффициент b₂ был предложен изначально. Второй член положителен, если f₁ > f₂, что означает: если коэффициент улучшается, игрок, следующий Келли, поставит больше, чем если бы ему предложили только второй коэффициент; если коэффициент ухудшается, он поставит меньше.

Практическое применение

Многие ставки имеют особенность, что коэффициенты и вероятности могут измениться до определения исхода. В спортивных ставках, например, линия может измениться несколько раз перед событием, и могут появиться новые данные (травма игрока, прогноз погоды), изменяющие вероятность исхода. При инвестировании акция, купленная по 20 долларов за штуку, может позже стоить 10 или 30 долларов. Некоторые спортивные беттеры пытаются заработать, предугадывая изменения линии, а не исходы событий. Некоторые трейдеры сосредоточены на краткосрочных колебаниях цены ценной бумаги, а не на её долгосрочных фундаментальных перспективах.

Классический пример из инвестирования — трейдер с лимитом риска, скажем, не более 1 миллиона долларов риска по одной акции. Это не означает, что он не может потерять больше миллиона. Если он купит акций на 1 миллион по 20 долларов и цена упадёт до 10, он может купить ещё на 500 тысяч. Если цена упадёт до 5, он может купить ещё на 500 тысяч. Если цена упадёт до нуля, он может потерять бесконечно много денег, хотя никогда не имел более 1 миллиона под риском.

Разрешение парадокса

Один простой способ отклонить парадокс — заметить, что критерий Келли предполагает неизменность вероятностей. Игрок, следующий Келли и знающий, что коэффициенты могут измениться, может учесть это в более сложной ставке по Келли. Например, предположим, игроку дана одноразовая возможность поставить на предложение 50/50 с коэффициентом 2 к 1. Он знает, что с вероятностью 50% ему будет предложена вторая одноразовая возможность с коэффициентом 5 к 1. Теперь он должен максимизировать:

0.25ln(1+2f₁)+0.25ln(1−f₁)+0.25ln(1+2f₁+5f₂)+0.25ln(1−f₁−f₂)

относительно f₁ и f₂. Оптимальное решение — не ставить ничего при коэффициенте 2 к 1 и ждать возможности поставить при коэффициенте 5 к 1, где следует поставить 40% капитала. Если вероятность предложения коэффициента 5 к 1 меньше 50%, при коэффициенте 2 к 1 следует поставить что-то между нулём и 25%. Если вероятность больше 50%, игрок, следующий Келли, фактически сделает отрицательную ставку при коэффициенте 2 к 1 (то есть поставит на исход 50/50 с коэффициентом 1/2 при выигрыше и платежом 1 при проигрыше). В любом случае его ставка при коэффициенте 5 к 1, если такая возможность предоставится, составит 40% минус 0.7 от его ставки при коэффициенте 2 к 1.

По сути, парадокс говорит, что если игрок, следующий Келли, неправильно оценивает, какие ставки могут быть предложены в будущем, он может принять неоптимальные решения и даже разориться. Критерий Келли должен работать лучше любой существенно отличающейся стратегии в долгосрочной перспективе и иметь нулевую вероятность разорения, при условии что игрок знает вероятности и коэффициенты.

Дополнительный свет на проблему пролил независимый анализ Аарона Брауна (Aaron Brown), также переданный Эду Торпу по электронной почте. В этой формулировке предполагается, что игрок сначала продаёт обратно первоначальную ставку, а затем делает новую ставку при новом коэффициенте. В этом случае его общая ставка составляет:

f∗ = (b₂−1)/(2b₂) − (b₁−1)/4 × (1/f₁ − 1/f₂) × (f₂−1)/(f₂+1)

Это выглядит очень похоже на формулу для формулировки Пребстинга, за исключением того, что знак второго члена противоположен и он умножен на дополнительный множитель.

Например, в исходном примере со ставкой 2 к 1, за которой следует ставка 5 к 1, в этой формулировке игрок сначала ставит 25% капитала при коэффициенте 2 к 1. Когда предлагается коэффициент 5 к 1, игрок может продать обратно первоначальную ставку с убытком 0.125. Его ставка 2 к 1 приносит 0.5 при выигрыше и стоит 0.25 при проигрыше. При новом коэффициенте 5 к 1 он может получить ставку, которая приносит 0.625 при выигрыше и стоит 0.125 при проигрыше — это на 0.125 лучше в обоих случаях. Таким образом, его первоначальная ставка теперь стоит −0.125. При новом капитале 0.875 его ставка 40% (размер по Келли для коэффициента 5 к 1) составляет 0.35.

Обе формулировки эквивалентны. В первой формулировке игрок имеет ставку 0.25 при коэффициенте 2 к 1 и 0.225 при коэффициенте 5 к 1. При выигрыше он получает 2.625, при проигрыше остаётся с 0.525. Во второй формулировке игрок имеет 0.875 и ставит 0.35 при коэффициенте 5 к 1. При выигрыше он получает 2.625, при проигрыше остаётся с 0.525.

Вторая формулировка ясно показывает, что изменение поведения результат переоценки убытков, которые инвестор испытывает при предложении нового коэффициента. Это естественный способ мышления в финансах, менее естественный для азартного игрока. В этой интерпретации бесконечный ряд удваивающихся коэффициентов не разоряет игрока, следующего Келли, заманивая его на чрезмерные ставки, а извлекает весь его капитал через изменения, находящиеся вне его контроля.