Модель CEV (постоянной эластичности дисперсии) — это математический инструмент для описания поведения волатильности финансовых активов. Разработанная Джоном Коксом в 1975 году, она позволяет учитывать эффект рычага и связь между ценой актива и его волатильностью. Модель широко применяется в финансовой индустрии при анализе акций и товарных контрактов.
Модель постоянной эластичности дисперсии (CEV) — это стохастическая модель ценообразования, разработанная Джоном Коксом в 1975 году для описания волатильности финансовых активов. Она широко применяется при моделировании акций и товаров благодаря способности отражать эффект рычага и связь между волатильностью и ценой.
Модель ценообразования
В математическом финансировании модель постоянной эластичности дисперсии (CEV) является моделью стохастической волатильности, хотя технически её точнее классифицировать как модель локальной волатильности. Она предназначена для описания стохастической волатильности и эффекта рычага. Модель широко используется практиками в финансовой индустрии, особенно при моделировании акций и товаров. Была разработана Джоном Коксом (John Cox) в 1975 году.
Динамика
Модель CEV представляет собой стохастический процесс, который развивается в соответствии со следующим стохастическим дифференциальным уравнением:
dSₜ = μSₜdt + σSₜᵞdWₜ
где S — спотовая цена, t — время, μ — параметр, характеризующий дрейф, σ и γ — параметры волатильности, а W — броуновское движение.
Это частный случай общей модели локальной волатильности, записываемой как:
dSₜ = μSₜdt + v(t,Sₜ)SₜdWₜ
где волатильность доходности цены равна:
v(t,Sₜ) = σSₜᵞ⁻¹
Постоянные параметры σ и γ удовлетворяют условиям σ ≥ 0 и γ ≥ 0.
Параметр γ управляет взаимосвязью между волатильностью и ценой и является центральной особенностью модели. Когда γ < 1, наблюдается эффект, обычно встречающийся на рынках акций, при котором волатильность акции растёт по мере падения её цены и увеличения коэффициента рычага. И наоборот, на товарных рынках часто наблюдается γ > 1, при котором волатильность цены товара имеет тенденцию к увеличению по мере роста его цены и снижения коэффициента рычага. Если γ = 1, модель становится геометрическим броуновским движением, как в модели Блэка-Шоулза (Black-Scholes). Если же γ = 0 и либо μ = 0, либо дрейф μS заменяется на μ, модель становится арифметическим броуновским движением — моделью, предложенной Луи Башелье (Louis Bachelier) в его докторской диссертации «Теория спекуляции» (The Theory of Speculation), известной как модель Башелье.
🔑 Ключевые факты
- CEV разработана Джоном Коксом в 1975 году
- Модель описывается стохастическим дифференциальным уравнением: dSₜ = μSₜdt + σSₜᵞdWₜ
- Параметр γ управляет взаимосвязью между волатильностью и ценой актива
- При γ < 1 волатильность растёт при падении цены (эффект рычага на акциях)
- При γ > 1 волатильность растёт при росте цены (характерно для товарных рынков)
- При γ = 1 модель становится геометрическим броуновским движением (модель Блэка-Шоулза)
- CEV классифицируется как модель локальной волатильности, а не стохастической волатильности
Что такое модель CEV и как она работает
❓ Часто задаваемые вопросы
💡 Интересные факты
- Модель CEV технически классифицируется как модель локальной волатильности, а не стохастической волатильности, хотя часто описывается как модель стохастической волатильности
- При γ = 0 модель CEV становится арифметическим броуновским движением, предложенным Луи Башелье ещё в его докторской диссертации 1900 года
- Параметр γ позволяет одной универсальной модели описывать совершенно разные рыночные динамики: от акций до товаров, просто изменяя один коэффициент