Модель Хестона: стохастическая волатильность

Модель в финансах

В финансах модель Хестона (Heston model), названная в честь Стивена Л. Хестона (Steven L. Heston), — это математическая модель, описывающая эволюцию волатильности базового актива. Это модель стохастической волатильности: такие модели предполагают, что волатильность актива не является постоянной или даже детерминированной, а следует случайному процессу.

Математическая формулировка

Модель Хестона предполагает, что S, цена актива, определяется стохастическим процессом:

dS_t = μS_t dt + √ν_t S_t dW_t^S

где волатильность √ν_t задаётся процессом Феллера квадратного корня или CIR:

dν_t = κ(θ − ν_t)dt + ξ√ν_t dW_t^ν

и W_t^S, W_t^ν — винеровские процессы (то есть непрерывные случайные блуждания) с корреляцией ρ. Величина ν_t, являющаяся квадратом волатильности, называется мгновенной дисперсией.

Модель имеет пять параметров:

• ν_0 — начальная дисперсия.
• θ — долгосрочная дисперсия, или долгосрочная средняя дисперсия цены; при t, стремящемся к бесконечности, ожидаемое значение ν стремится к θ.
• ρ — корреляция двух винеровских процессов.
• κ — скорость возврата ν к θ.
• ξ — волатильность волатильности, или «волатильность волатильности», которая определяет дисперсию ν.

Если параметры удовлетворяют следующему условию (известному как условие Феллера), то процесс ν_t строго положителен:

2κθ > ξ²

Мера, нейтральная к риску

Фундаментальное понятие в ценообразовании производных инструментов — это мера, нейтральная к риску. Для наших целей достаточно отметить следующее:

• Чтобы оценить производный инструмент, выплата которого является функцией одного или нескольких базовых активов, мы вычисляем ожидаемое значение его дисконтированной выплаты в рамках меры, нейтральной к риску.
• Мера, нейтральная к риску, также известная как эквивалентная мартингальная мера, — это мера, эквивалентная реальной мере и свободная от арбитража: в такой мере дисконтированная цена каждого из базовых активов является мартингалом.
• В моделях Блэка-Шоулза (Black-Scholes) и Хестона (где фильтрации порождаются только линейно независимым набором винеровских процессов) любая эквивалентная мера может быть описана в очень общем смысле путём добавления дрейфа к каждому из винеровских процессов.
• Выбирая определённые значения для дрейфов, описанных выше, мы можем получить эквивалентную меру, которая удовлетворяет условию отсутствия арбитража.

Рассмотрим общую ситуацию, когда у нас есть n базовых активов и линейно независимый набор m винеровских процессов. Множество эквивалентных мер изоморфно пространству R возможных дрейфов. Множество эквивалентных мартингальных мер можно считать изоморфным многообразию M, вложенному в R.

Каждый из базовых активов накладывает ограничение на множество эквивалентных мер, поскольку его ожидаемый дисконтированный процесс должен быть равен константе (его начальному значению). Добавляя активы по одному, каждое дополнительное ограничение уменьшает размерность M на одно измерение. Таким образом, в общей ситуации, описанной выше, размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна m − n.

В модели Блэка-Шоулза у нас есть один актив и один винеровский процесс. Размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна нулю; следовательно, существует единственное значение дрейфа и, таким образом, единственная мера, нейтральная к риску, при которой дисконтированный актив будет мартингалом.

В модели Хестона у нас по-прежнему один актив (волатильность не считается прямо наблюдаемой или торгуемой на рынке), но теперь у нас есть два винеровских процесса — первый в стохастическом дифференциальном уравнении для цены акции и второй в уравнении для дисперсии цены акции. Здесь размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна одному; единственной меры, нейтральной к риску, не существует.

Это, конечно, проблематично: хотя теоретически любая из мер, нейтральных к риску, может быть использована для ценообразования производного инструмента, вероятно, каждая из них даст различную цену. Однако в теории только одна из этих мер была бы совместима с рыночными ценами опционов, зависящих от волатильности. Следовательно, мы могли бы добавить актив, зависящий от волатильности; при этом мы добавляем дополнительное ограничение и выбираем единственную меру, нейтральную к риску, совместимую с рынком. Эта мера может быть использована для ценообразования.

Реализация

• Использование преобразования Фурье для оценки опционов было показано Карром и Маданом.

• Обсуждение реализации модели Хестона было дано Калем и Йеккелем.

• Вывод аналитических формул цен опционов для зависящей от времени модели Хестона был представлен Бенхамоу и соавторами.

• Вывод аналитических формул цен опционов для двойной модели Хестона был дан Кристофферсеном и соавторами, а также Готье и Поссамаи.

• Расширение модели Хестона со стохастическими процентными ставками было дано Грзелаком и Остерли.

• Выражение характеристической функции модели Хестона, которое является одновременно численно непрерывным и легко дифференцируемым по параметрам, было введено Цуй и соавторами.

• Использование модели в контексте локальной стохастической волатильности было дано Ван дер Вейстом.

• Явное решение уравнения цены Хестона в терминах волатильности было разработано Куритзиным. Это может быть объединено с известными слабыми решениями для уравнения волатильности и теоремой Гирсанова для получения явных слабых решений модели Хестона. Такие решения полезны для эффективного моделирования.

• Справочные цены высокой точности доступны в блоге Алана Льюиса.

• Известно несколько параметризаций поверхности волатильности на основе модели Хестона (Schonbusher, SVI и gSVI).

Калибровка

Калибровка модели Хестона часто формулируется как задача наименьших квадратов, где целевая функция минимизирует квадратичную разницу между ценами, наблюдаемыми на рынке, и ценами, рассчитанными по модели.

Цены обычно являются ценами ванильных опционов. Иногда модель также калибруется по срочной структуре вариационных свопов. Другой подход заключается в включении форвардных опционов или барьерных опционов для захвата форвардной улыбки волатильности.

В модели Хестона цена ванильных опционов задаётся аналитически, но требует численного метода для вычисления интеграла. Ле Флок суммировал различные применяемые квадратуры и предложил эффективную адаптивную квадратуру Филона.

Калибровка обычно требует градиента целевой функции по параметрам модели. Это обычно вычислялось с помощью аппроксимации конечными разностями, хотя это менее точно, менее эффективно и менее элегантно, чем аналитический градиент, поскольку его выразительная форма стала доступна только после введения нового представления характеристической функции Цуй и соавторами в 2017 году. Другая возможность — использование автоматического дифференцирования. Например, касательный режим алгоритмического дифференцирования может быть применён с использованием двойных чисел прямолинейным образом.