Математика лотереи: формулы и расчёты вероятности

Математика лотереи — это раздел теории вероятностей, который помогает рассчитать шансы на выигрыш в лотерейных играх. Она основана на комбинаторике и позволяет понять, насколько реальны ваши возможности совпадения номеров. В этой статье разберём основные формулы и методы расчёта вероятностей, которые используются при анализе лотерейных розыгрышей.

Математика лотереи используется для расчёта вероятностей выигрыша или проигрыша в лотерейной игре. Она основана главным образом на комбинаторике, в частности на методе двенадцатикратного подсчёта и сочетаниях без повторений. Её также можно применять для анализа совпадений, происходящих при розыгрышах лотереи, например повторного появления одних и тех же номеров в разных тиражах.

Вероятности выигрыша в лотерее

В следующих расчётах используются следующие обозначения:

• P — количество шаров в общем пуле, из которого извлекаются выигрышные шары без повторений.
• W — количество выигрышных шаров, извлекаемых из пула.
• T — количество шаров, указанных на лотерейном билете (часто равно W).
• M — количество совпадающих шаров между билетом и выигрышным набором.

Один пул шаров

Предположим, есть P уникальных шаров (например, P = 49), из которых извлекаются шары без повторений. Подмножество из W шаров (например, W = 6) извлекается как выигрышный набор. На лотерейном билете выбирается подмножество из T шаров (например, T = 6). M из T шаров на билете совпадают с W шарами в выигрышном наборе. Из всех возможных способов выбрать выигрышный набор существует определённое количество способов получить M совпадений.

Вероятность получить M совпадений рассчитывается по формуле:

Pr[M|P,T,W] = (T choose M) × (P-T choose W-M) / (P choose W)

Эту же вероятность можно вычислить с противоположной точки зрения, и оба подхода дают одинаковый результат.

Примеры с одним пулом

Шансы получить M совпадений при извлечении W шаров из пула P шаров и лотерейных билетах с T шарами каждый зависят от конкретных значений этих параметров.

Дополнительные шары из отдельного пула

Некоторые лотереи имеют один или несколько дополнительных шаров, извлекаемых из отдельного пула. Например, первый розыгрыш может быть для W = 5 шаров из P = 69 шаров, а затем W = 1 дополнительный шар извлекается из P = 26 шаров. В обоих пулах извлечение происходит без повторений. Лотерейный билет указывает T обычных шаров и T дополнительных шаров.

Вероятность получить M совпадений в первом розыгрыше и M совпадений в розыгрыше дополнительного шара является произведением отдельных вероятностей:

Pr[M₁,M₂|P₁,T₁,W₁,P₂,T₂,W₂] = [(T₁ choose M₁) × (P₁-T₁ choose W₁-M₁) / (P₁ choose W₁)] × [(T₂ choose M₂) × (P₂-T₂ choose W₂-M₂) / (P₂ choose W₂)]

Аналогично для трёх и более пулов шаров.

Примеры с отдельными пулами

Шансы получить совпадения при извлечении 5 шаров из пула 69 шаров, 1 дополнительного шара из отдельного пула 26 шаров и выборе 5 обычных и 1 дополнительного шара на билете рассчитываются по приведённой выше формуле.

Бонусные шары из одного пула

Некоторые лотереи имеют один или несколько бонусных шаров, извлекаемых из исходного пула после первого раунда. В этом сценарии каждый билет указывает T шаров из P возможностей, но розыгрыш проводится для W шаров плюс W бонусных шаров без повторений.

Вероятность того, что M шаров из первого розыгрыша совпадают с билетом и M шаров из бонусного розыгрыша совпадают с билетом, даётся формулой:

Pr[M₁,M₂|P,T,W₁,W₂] = [(W₁ choose M₁) × (W₂ choose M₂) × (P-W₁-W₂ choose T-M₁-M₂)] / (P choose T)

Пример с шарами и бонусными шарами из одного пула

Когда на билете указаны T = 6 из P = 49 номеров, но выигрышный набор состоит из W = 6 номеров плюс W = 1 бонусный шар, вероятности рассчитываются по приведённой формуле.

Гарантированный выигрыш джекпота

Существует только один способ гарантировать выигрыш джекпота — купить хотя бы один билет для каждой возможной комбинации номеров. Например, чтобы гарантировать выигрыш джекпота в лотерее 6 из 49, нужно купить 13 983 816 различных билетов. Чтобы это было прибыльно, стоимость приобретения этих билетов (включая любые накладные расходы) не должна превышать общую сумму выигрышей, включая джекпоты и меньшие призы. Если вероятно, что джекпот или меньшие призы придётся разделить между несколькими победителями, то в общую сумму следует включать только вашу вероятную долю.

Минимальное количество билетов для совпадения

Вычисление минимального количества билетов, необходимых для гарантии того, что хотя бы один из них совпадёт хотя бы с 2 номерами, является сложной и часто открытой задачей. В лотерее 5 из 90 минимальное количество билетов, гарантирующих совпадение хотя бы с 2 номерами, составляет 100.

Совпадения в номерах лотереи

Совпадения при розыгрышах лотереи часто привлекают внимание и могут попадать в новостные заголовки, так как кажутся выявляющими закономерности в том, что должно быть совершенно случайным результатом. Например, повторное появление одних и тех же номеров в разных тиражах может показаться слишком невероятным, чтобы быть результатом чистой случайности. Так, 6 сентября 2009 года в болгарской национальной лотерее 6 из 49 были извлечены номера 4, 15, 23, 24, 35 и 42, а при следующем розыгрыше 10 сентября эти же шесть номеров были извлечены снова. Математика лотереи может быть использована для анализа таких необычайных событий.

Математика лотереи и её применение в расчётах