Математика букмекерства: коэффициенты и маржа

Математика букмекерства — это система управления рисками, которая позволяет букмекерам получать прибыль независимо от исхода события. Букмекеры используют специальные коэффициенты и маржу для обеспечения своего дохода. В этой статье разберёмся, как работает математический механизм букмекерства и почему букмекер всегда остаётся в выигрыше.

Теория размещения ставок

В азартных играх под термином «составление росписи» понимается практика принятия ставок на различные возможные исходы одного события. Фраза происходит от традиции записывать такие пари в переплетённый реестр (собственно «роспись»), откуда в английском языке появился термин «букмекер» для обозначения лица, принимающего ставки и составляющего роспись. Математическая основа букмекерства заключается в управлении рисками путём корректировки коэффициентов.

Основы букмекерства

Традиционные модели предполагают статичный рынок, где коэффициенты устанавливаются на основе оценённых вероятностей и фиксированной маржи. Букмекер стремится принять ставки на исходы события в правильных пропорциях, чтобы получить прибыль независимо от того, какой исход произойдёт.

Это достигается в основном путём снижения истинных коэффициентов различных исходов; букмекер выплачивает по коэффициентам, которые ниже «справедливой» стоимости, обеспечивая таким образом прибыль. Хотя эти фиксированные модели служат основой для расчётов при ставках, современное динамическое букмекерство (часто используемое в онлайн-среде) применяет потоки данных в реальном времени и алгоритмы управления рисками для непрерывной корректировки коэффициентов по мере поступления ставок.

Коэффициенты для конкретного события могут быть фиксированными, но чаще колеблются в зависимости от размера ставок, поступивших перед самым событием (например, скачками). Данная статья объясняет математику букмекерства в более простом случае фиксированных коэффициентов. Для второго метода см. взаимные ставки.

Коэффициенты и подразумеваемые вероятности

Связь между дробными и десятичными коэффициентами является фундаментальным компонентом букмекерской арифметики. Дробные коэффициенты выражаются как a−b, где выигравший игрок получает свою ставку обратно плюс a единиц за каждые b единиц поставленных. Десятичные коэффициенты (D) представляют собой единое значение больше 1, указывающее общую выплату за единицу ставки.

Формула преобразования дробных коэффициентов в десятичные:

D = (a+b)/b

Например, ставка в £40 при коэффициенте 6−4 (дробный) даёт выплату £100. Эквивалентные десятичные коэффициенты составляют 2,5.

Подразумеваемые вероятности представляют теоретическую вероятность исхода, предполагаемую указанными коэффициентами. Дробные коэффициенты a−b соответствуют подразумеваемой вероятности (P):

P = b/(a+b) = 1/D

Например, коэффициент 6−4 соответствует вероятности 40%. Вероятность x выражается дробными коэффициентами (1−x)/x.

Переоценка (overround)

Рассмотрим футбольный матч с тремя возможными исходами: «победа хозяев», «ничья» или «победа гостей». Истинные коэффициенты могут быть:

• Хозяева: 1−1 (вероятность 50%)
• Ничья: 2−1 (вероятность 33⅓%)
• Гости: 5−1 (вероятность 16⅔%)

Сумма этих вероятностей составляет 100% (справедливая роспись). Букмекер снижает эти коэффициенты для обеспечения прибыли. Используя пропорциональное снижение, букмекер может предложить:

• Хозяева: 4−6 (вероятность 60%)
• Ничья: 6−4 (вероятность 40%)
• Гости: 4−1 (вероятность 20%)

Сумма этих вероятностей составляет 120%.

Величина, на которую фактическая роспись превышает 100%, называется «переоценкой», «маржей букмекера» или «виго» и представляет ожидаемую прибыль букмекера. В идеальной ситуации, если букмекер принимает ставки в правильных пропорциях, он выплатит только 100% от полученных ставок независимо от исхода матча.

Например:

• Ставка £60 при 4−6 возвращает £100 при победе хозяев
• Ставка £40 при 6−4 возвращает £100 при ничье
• Ставка £20 при 4−1 возвращает £100 при победе гостей

Общая полученная сумма £120 с максимальной выплатой £100 независимо от результата. Прибыль £20 составляет 16⅔% от оборота.

Маржа букмекера в английских футбольных лигах

Маржа букмекера в английских футбольных лигах снизилась в последние годы. Исследование шести крупных букмекеров с сезона 2005/06 по 2017/2018 показало, что средняя маржа в Премьер-лиге (Premier League) снизилась с 9% до 4%, в Чемпионате (Championship), Первом и Втором дивизионах (League One и League Two) — с 11% до 6%, а в Национальной лиге (National League) — с 11% до 8%.

Расчёт и практика выплат

Общие принципы расчёта выигрышных ставок

При расчёте выигрышных ставок используются либо десятичные коэффициенты, либо к дробным коэффициентам прибавляется единица (для включения ставки в возврат). Часть ставки «место» в ставках «каждый способ» рассчитывается отдельно от части «выигрыш»; метод идентичен, но коэффициенты снижаются на коэффициент места для конкретного события. Все ставки считаются ставками «выигрыш», если не указано иное. Дроби пенсов в общих выигрышах всегда округляются букмекерами вниз до ближайшего пенса.

**Одиночная ставка на выигрыш**

Например, ставка £100 при коэффициенте 9−2; выплата = £100 × (9/2 + 1) = £550.

**Одиночная ставка «каждый способ»**

Например, ставка £100 «каждый способ» при коэффициенте 11−4 (коэффициент места 1/5); общая ставка = £200. Выплата (выигрыш) = £375. Выплата (место) = £155. Общая выплата при выигрыше = £530; при попадании в место = £155.

Комбинированные ставки и аккумуляторы

Когда игрок комбинирует несколько выборов в двойную, тройную или аккумуляторную ставку, эффект переоценки в каждом выборе усугубляется. Это неблагоприятно влияет на финансовый возврат игрока по сравнению с истинными коэффициентами всех выборов, выигрывающих одновременно.

Например, рассмотрим двойную ставку на теннисные матчи. В каждом матче оба игрока имеют равные шансы на победу. Букмекер предлагает коэффициент 5−6 на каждый из двух возможных исходов в каждом матче. Это даёт роспись 109,09% для каждого матча (переоценка 9,09%).

Существует четыре возможных исхода из комбинации двух матчей, каждый с вероятностью 0,25 и коэффициентом 3−1. Ставка 100 единиц на любую комбинацию даст возврат 400 единиц при успехе.

Десятичные коэффициенты комбинированной ставки часто рассчитываются путём умножения десятичных коэффициентов отдельных ставок. При дробных коэффициентах 5−6 десятичные коэффициенты составляют 11/6. Десятичные коэффициенты двойной ставки: (11/6) × (11/6) = 3,3611, или дробные коэффициенты 2,3611−1. Это представляет подразумеваемую вероятность 29,752% и при умножении на 4 (для каждой из четырёх равновероятных комбинаций) даёт общую роспись 119,01%. Таким образом, переоценка более чем удвоилась при комбинировании двух одиночных ставок в двойную.

В общем случае объединённая переоценка на двойной ставке (O) в процентах рассчитывается из отдельных росписей B₁ и B₂ (в виде десятичных дробей) по формуле: O = B₁ × B₂ × 100 − 100.

Это значительное увеличение потенциальной прибыли букмекера (19% вместо 9% на событие) является основной причиной, по которой букмекеры предлагают бонусы за успешный выбор победителей в комбинированных ставках.

Методы расчёта комбинированных ставок

Комбинированные ставки «каждый способ» обычно рассчитываются методом «выигрыш к выигрышу, место к месту», что означает, что ставка состоит из аккумулятора выигрышей и отдельного аккумулятора мест. Однако менее распространённый способ — «каждый способ ко всему каждому способу» (известный как «поровну разделённый»), при котором возврат от одного выбора в аккумуляторе разделяется для формирования равной ставки «каждый способ» на следующий выбор и так далее.

**Двойная ставка**

Например, ставка £100 «каждый способ» двойная с победителями при коэффициентах 2−1 (коэффициент места 1/5) и 5−4 (коэффициент места 1/4); общая ставка = £200.

При методе «выигрыш к выигрышу, место к месту»:

• Возврат (двойной выигрыш) = £675
• Возврат (двойное место) = £183,75
• Общий возврат = £858,75

**Тройная ставка**

Например, ставка £100 тройная с победителями при коэффициентах 3−1, 4−6 и 11−4; общая ставка = £100.

Возврат = £100 × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = £2500.

**Аккумулятор**

Например, ставка £100 «каждый способ» пятикратный аккумулятор с победителями при коэффициентах 1−1 (коэффициент места 1/4), 11−8 (коэффициент места 1/5), 5−4 (коэффициент места 1/4), 1−2 (только выигрыш) и 3−1 (коэффициент места 1/5); общая ставка = £200.

Возврат (пятикратный выигрыш) = £6412,50

Возврат (пятикратное место) = £502,03

Общий возврат = £6914,53

Полнопокрывающие ставки

Ставки Trixie, Yankee, Canadian, Heinz, Super Heinz и Goliath образуют семейство полнопокрывающих ставок, которые включают все возможные комбинации. Если один из выборов в такой ставке не выигрывает, оставшиеся победители рассчитываются как полностью успешная ставка на следующий «член семейства» вниз. Например, только два победителя из трёх в Trixie означает, что ставка рассчитывается как двойная; только четыре победителя из пяти в Canadian означает расчёт как Yankee.

**Trixie**

Например, ставка £10 Trixie с победителями при коэффициентах 4−7, 2−1 и 11−10; общая ставка = £40.

Возврат (3 двойные) = £143,14

Возврат (1 тройная) = £99,00

Общий возврат = £242,14

**Yankee**

Например, ставка £10 Yankee с победителями при коэффициентах 1−3, 5−2, 6−4 и 1−1; общая ставка = £110.

Возврат (6 двойных) = £314,16

Возврат (4 тройные) = £451,66

Возврат (1 четырёхкратная) = £233,33

Общий возврат = £999,15

Полнопокрывающие ставки с одиночными ставками

Patent, Lucky 15, Lucky 31, Lucky 63 и более высокие Lucky ставки образуют семейство полнопокрывающих ставок с одиночными ставками, которые включают все возможные комбинации вместе с одиночными ставками на все выборы. Если один из выборов не выигрывает, оставшиеся победители рассчитываются как полностью успешная ставка на следующий «член семейства» вниз.

**Patent**

Например, ставка £2 Patent с победителями при коэффициентах 4−6, 2−1 и 11−4; общая ставка = £14.

Возврат (3 одиночные) = £16,83

Возврат (3 двойные) = £45,00

Возврат (1 тройная) = £37,50

Общий возврат = £99,33

Расчёт других типов выигрышных ставок

**Up and Down**

Например, ставка £20 Up and Down с победителями при коэффициентах 7−2 и 15−8; общая ставка = £40.

Возврат (£20 одиночная при 7−2 плюс £20 одиночная при 15−8) = £127,50

Возврат (£20 одиночная при 15−8 плюс £20 одиночная при 7−2) = £127,50

Общий возврат = £255,00

**Round Robin**

Round Robin с 3 победителями рассчитывается как Trixie плюс три Up and Down ставки с 2 победителями в каждой.

Round Robin с 2 победителями рассчитывается как двойная плюс одна Up and Down ставка с 2 победителями плюс две Up and Down ставки с 1 победителем в каждой.

Round Robin с 1 победителем рассчитывается как две Up and Down ставки с одним победителем в каждой.

**Flag и Super Flag**

Ставки Flag и Super Flag рассчитываются аналогичным образом, используя соответствующую полнопокрывающую ставку (при достаточном количестве победителей) вместе с требуемым количеством Up and Down ставок с 2 и 1 победителем.

Алгебраическая интерпретация

Возврат по ставке рассчитывается как произведение «единицы ставки» и «множителя коэффициентов» (OM). Общий OM представляет собой объединённое значение десятичных коэффициентов, представляющее сумму всех отдельных ставок в сложной ставке, такой как полнопокрывающая ставка.

Если a, b, c, d… представляют десятичные коэффициенты (дробные коэффициенты + 1) выборов, OM рассчитывается путём расширения произведения выражений (a+1), (b+1), (c+1)… и корректировки для конкретного типа ставки.

Модели полнопокрывающих ставок

Для Patent (три выбора, включая одиночные, двойные и тройные):

OM_Patent = (a+1)(b+1)(c+1) − 1

Для Yankee (четыре выбора, исключая одиночные):

OM_Yankee = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) − 1 − (a+b+c+d)

Условные и специализированные модели

Для специализированных ставок, включающих условия «Any-To-Come» или «Up and Down», OM учитывает переставку выигрышей между выборами.

**Up and Down (2 выбора):**

• При 2 победителях: OM = 2(a+b−1)
• При 1 победителе: OM = a−1

**Round Robin (3 выбора):**

• При 3 победителях: OM = (a+1)(b+1)(c+1) + 3(a+b+c) − 7
• При 2 победителях: OM = ab + 3(a+b) − 4
• При 1 победителе: OM = 2(a−1)

**Flag (4 выбора):**

• При 4 победителях: OM = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) + 5(a+b+c+d) − 13
• При 3 победителях: OM = (a+1)(b+1)(c+1) + 4(a+b+c) − 10
• При 2 победителях: OM = ab + 4(a+b) − 6
• При 1 победителе: OM = 3(a−1)

Онлайн-букмекерство и алгоритмические подходы

Переход к динамическим рынкам

Переход от традиционных букмекерских контор к онлайн-платформам переопределил роль букмекера как активного создателя рынка. В онлайн-среде коэффициенты больше не являются статичными; они обновляются непрерывно в ответ на поступающие ставки и развивающуюся рыночную информацию. Эта динамическая среда часто моделируется с использованием подходов из онлайн-обучения и последовательного принятия решений, где букмекер должен балансировать максимизацию прибыли с необходимостью управления рисками в реальном времени.

Исследовательские подходы

Недавние математические исследования изучили различные алгоритмические подходы к онлайн-букмекерству:

**Антагонистическое минимаксное моделирование:** Этот подход моделирует букмекерство как повторяющуюся игру между букмекером и антагонистическим игроком, представляющим совокупный рынок. Обычно рассматривается событие с K возможными исходами и временной горизонт из T раундов ставок. В каждом раунде букмекер предлагает набор выплат, а рынок отвечает размещением ставки. Цель букмекера — минимизировать свой наихудший убыток, или сожаление, независимо от финального исхода или стратегии игрока.

**Стохастическое управление:** Некоторые модели рассматривают поступление ставок как процесс Пуассона. Букмекер стремится максимизировать ожидаемую полезность своего богатства во времени, корректируя коэффициенты на основе текущего запаса и интенсивности поступающих ставок посредством стохастического управления и уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана.

**Прибыль против предсказания:** Другие исследования анализируют компромисс между максимизацией прибыли букмекера и получением точной информации, например на рынках предсказаний. Хотя рынки предсказаний стремятся к эффективности цен, коммерческие букмекеры часто максимизируют доходы, используя отклонения между истинной вероятностью события и распределением убеждений игроков.

Границы производительности и полиномы Эрмита

В алгоритмическом букмекерстве сожаление измеряет разницу между фактической выплатой букмекера после T раундов и выплатой, которую он получил бы, если бы заранее знал общее распределение ставок.

**Границы сожаления:** Для события с K исходами и T раундов ставок оптимальный алгоритм ценообразования может гарантировать, что сожаление букмекера растёт со скоростью O(√T).

**Связь с полиномами Эрмита:** Масштабный коэффициент для оптимального сожаления букмекера фундаментально связан с полиномами Эрмита. В частности, для события с K возможными исходами асимптотический масштабный коэффициент сожаления букмекера определяется наибольшим корнем K-го вероятностного полинома Эрмита.

Оппортунистические стратегии и граница Парето

Хотя минимаксные стратегии защищают от «наихудшего» игрока, который ставит всё на один исход, реальные рыночные ставки часто распределяются по нескольким исходам. Современные алгоритмы используют оппортунистические стратегии для использования этих субоптимальных, недирективных моделей ставок.

**Граница Беллмана-Парето:** Алгоритм отслеживает вектор состояния зафиксированных выплат. Характеризуя границу Беллмана-Парето — набор всех будущих векторов выплат, которые не могут быть улучшены для одного исхода без ухудшения другого — букмекер может динамически корректировать коэффициенты для получения дополнительной прибыли при плохо распределённых ставках.

**Механизм заполнения водой:** Этот подход функционирует аналогично алгоритму заполнения водой; когда игроки размещают недирективные ставки, алгоритм снижает «уровень воды» (максимальную гарантированную выплату по всем исходам), позволяя букмекеру превзойти теоретическую границу наихудшего случая.

Как работает математика букмекерства