Математическое ожидание: формулы и применение — Gamblipedia

Математическое ожидание (также называемое ожиданием, средним значением или первым моментом) — это обобщение концепции взвешенного среднего в теории вероятностей и статистике.

Для случайной величины с конечным числом исходов математическое ожидание представляет собой взвешенное среднее всех возможных значений. В случае континуума возможных исходов ожидание определяется через интегрирование. В аксиоматическом основании теории вероятностей, предоставленном теорией меры, ожидание задаётся интегралом Лебега.

Математическое ожидание случайной величины X обычно обозначается как E(X), E[X] или EX.

История

Концепция математического ожидания возникла в середине XVII века из «задачи о разделении ставок» — головоломки о справедливом разделении выигрыша между двумя игроками, вынужденными прервать игру. Хотя эта задача обсуждалась веками, новый импульс она получила в 1654 году, когда французский писатель и любитель математики Шевалье де Мере (Chevalier de Méré) представил её Блезу Паскалю (Blaise Pascal). Де Мере утверждал, что задача неразрешима и демонстрирует несовершенство математики при её применении к реальному миру.

Паскаль, будучи математиком, решил работать над решением. Он начал обсуждать проблему в серии писем к Пьеру де Ферма (Pierre de Fermat). Вскоре оба независимо друг от друга пришли к решению. Хотя их вычислительные методы различались, результаты совпадали, так как оба основывались на одном принципе: стоимость будущего выигрыша должна быть прямо пропорциональна вероятности его получения. Они были очень довольны совпадением результатов и убеждены в правильности решения, но не опубликовали свои находки, поделившись ими только с узким кругом парижских научных друзей.

Голландский математик Христиан Гюйгенс (Christiaan Huygens) рассмотрел задачу о разделении ставок в своём трактате, опубликованном в 1657 году под названием «De ratiociniis in ludo aleæ» (О расчётах при азартных играх). Его решение основывалось на том же принципе, что и у Паскаля с Ферма. Гюйгенс расширил концепцию ожидания, добавив правила для более сложных ситуаций (например, для трёх и более игроков) и считается автором первой успешной попытки заложить основы теории вероятностей.

В середине XIX века Пафнутий Чебышев (Pafnuty Chebyshev) стал первым, кто систематически мыслил в терминах ожиданий случайных величин.

Этимология

Ни Паскаль, ни Гюйгенс не использовали термин «ожидание» в его современном смысле. Только спустя более ста лет, в 1814 году, Пьер-Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace) опубликовал трактат «Théorie analytique des probabilités», где концепция математического ожидания была определена явно.

Обозначения

Использование буквы E для обозначения математического ожидания восходит к У. А. Уитворту (W. A. Whitworth) в 1901 году. В немецкой литературе E обозначает Erwartungswert, в испанской — esperanza matemática, во французской — espérance mathématique.

Другие популярные обозначения включают μ, ⟨X⟩ (часто используется в физике) и M(X) (в русскоязычной литературе).

Определение

Существует несколько способов определения математического ожидания в зависимости от контекста. Простейшее определение касается случая конечного числа возможных исходов, как при бросании монеты. С помощью теории бесконечных рядов это можно расширить на счётное число исходов. Также часто рассматривается случай случайных величин с непрерывными функциями плотности вероятности.

Случайные величины с конечным числом исходов

Для случайной величины X с конечным списком возможных значений x₁, …, xₖ и соответствующими вероятностями p₁, …, pₖ математическое ожидание определяется как:

E[X] = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₖpₖ

Это естественно интерпретируется как взвешенное среднее значений xᵢ с весами, задаваемыми вероятностями pᵢ.

**Примеры:**

• При бросании честной шестигранной кости каждый результат (1–6) имеет вероятность 1/6. Математическое ожидание равно 3,5.
• В рулетке при ставке в $1 на одно число вероятность выигрыша составляет 1/38, выигрыш равен $35. Математическое ожидание прибыли составляет −$1/19.

Случайные величины со счётным бесконечным числом исходов

Для случайной величины со счётным числом возможных исходов математическое ожидание определяется аналогично:

E[X] = Σ xᵢpᵢ

Однако при работе с бесконечными суммами возникают тонкости. Математические учебники обычно требуют абсолютной сходимости суммы.

Случайные величины с плотностью распределения

Для случайной величины X с функцией плотности вероятности f математическое ожидание определяется через интеграл:

E[X] = ∫ xf(x)dx

Произвольные вещественнозначные случайные величины

В общем случае, если X — вещественнозначная случайная величина на вероятностном пространстве, математическое ожидание определяется как интеграл Лебега:

E[X] = ∫ X dP

Бесконечные математические ожидания

Хотя обычно математическое ожидание — конечное число, в некоторых случаях полезно рассматривать ожидания ±∞. Классический пример — парадокс Санкт-Петербурга, где случайная величина имеет возможные исходы 2ⁱ с вероятностями 2⁻ⁱ, что приводит к бесконечному ожиданию.

Формула хвостовых вероятностей

Для неотрицательной целочисленной случайной величины X:

E[X] = Σ P(X > k)

Более общая версия для любой неотрицательной случайной величины:

E[X] = ∫ P(X > t) dt

Свойства

**Неотрицательность:** Если X ≥ 0, то E[X] ≥ 0.

**Линейность ожидания:** Оператор ожидания линеен:

• E[X + Y] = E[X] + E[Y]
• E[aX] = aE[X]

Это означает, что ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их ожиданий.

**Монотонность:** Если X ≤ Y, то E[X] ≤ E[Y].

**Неделимость:** Если E[|X|] = 0, то X = 0 почти наверное.

**Константность:** Если X = c (константа), то E[X] = c.

**Неумножаемость:** В общем случае E[XY] ≠ E[X]·E[Y]. Однако если X и Y независимы, то E[XY] = E[X]·E[Y].

**Закон бессознательного статистика:** Для измеримой функции g и случайной величины X с плотностью f:

E[g(X)] = ∫ g(x)f(x) dx

Неравенства

**Неравенство Маркова:** Для неотрицательной случайной величины X и положительного числа a:

P(X ≥ a) ≤ E[X]/a

**Неравенство Чебышева:** Для случайной величины X с конечным ожиданием:

P(|X − E[X]| ≥ a) ≤ Var[X]/a²

**Неравенство Йенсена:** Для выпуклой функции f и случайной величины X с конечным ожиданием:

f(E[X]) ≤ E[f(X)]

**Неравенство Гёльдера:** Для p > 1, q > 1 с p⁻¹ + q⁻¹ = 1:

E|XY| ≤ (E|X|ᵖ)^(1/p) · (E|Y|ᵍ)^(1/q)

**Неравенство Минковского:** Для p ≥ 1:

(E|X + Y|ᵖ)^(1/p) ≤ (E|X|ᵖ)^(1/p) + (E|Y|ᵖ)^(1/p)

Сходимость случайных величин

В общем случае нельзя менять местами пределы и ожидание без дополнительных условий.

**Теорема о монотонной сходимости:** Если 0 ≤ Xₙ ≤ Xₙ₊₁ и Xₙ → X, то lim E[Xₙ] = E[X].

**Лемма Фату:** Для неотрицательных случайных величин:

E[lim inf Xₙ] ≤ lim inf E[Xₙ]

**Теорема о доминируемой сходимости:** Если Xₙ → X почти наверное, |Xₙ| ≤ Y и E[Y] < ∞, то:

• E|X| ≤ E[Y] < ∞
• lim E[Xₙ] = E[X]

Применения

Математическое ожидание играет важную роль в различных областях:

• **Статистика:** Выборочное среднее служит оценкой математического ожидания и является несмещённой оценкой.
• **Теория решений:** Агент часто максимизирует ожидаемую полезность при неполной информации.
• **Машинное обучение:** Многие величины, представляющие интерес, можно выразить через ожидание и оценить методом Монте-Карло.
• **Классическая механика:** Центр масс аналогичен математическому ожиданию.
• **Квантовая механика:** Ожидаемое значение квантового оператора A, действующего на состояние |ψ⟩, записывается как ⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩.

Математическое ожидание также используется для вычисления дисперсии через формулу:

Var(X) = E[X²] − (E[X])²