Коэффициенты вероятности: формулы и применение

В теории вероятностей коэффициенты вероятности служат мерой вероятности конкретного исхода. Они широко используются в азартных играх и статистике. Например, для события с вероятностью 40% можно сказать, что коэффициенты составляют «2 из 5», «2 к 3 в пользу», «2 к 3» или «3 к 2 против».

В азартных играх коэффициенты часто выражаются как отношение возможной чистой прибыли к возможному чистому убытку. Однако во многих случаях возможный убыток (ставка) выплачивается авансом, и при выигрыше игрок получает обратно чистый выигрыш плюс ставку. Так, ставка в 2 единицы при коэффициенте «3 к 2» выплачивает 3 + 2 = 5, что называется «5 за 2». Когда коэффициенты Moneyline указаны как положительное число +X, это означает, что ставка приносит X на 100. Когда они указаны как отрицательное число −X, ставка приносит 100 на X.

Коэффициенты имеют простую связь с вероятностью. Когда вероятность выражена числом от 0 до 1, соотношения между вероятностью p и коэффициентами следующие:

• «X из Y» означает, что вероятность p = X / Y
• «X к Y в пользу» и «X к Y» означают, что вероятность p = X / (X + Y)
• «X к Y против» означает, что вероятность p = Y / (X + Y)
• «выплачивает X к Y» означает справедливую ставку при вероятности p = Y / (X + Y)
• «выплачивает X за Y» означает справедливую ставку при вероятности p = Y / X
• «выплачивает +X» (Moneyline) означает справедливую ставку при вероятности p = 100 / (X + 100)
• «выплачивает −X» (Moneyline) означает справедливую ставку при вероятности p = X / (X + 100)

Числа коэффициентов можно масштабировать. Если k — любое положительное число, то X к Y эквивалентно kX к kY. Например, «3 к 2 против» — это то же самое, что «1,5 к 1 против» и «6 к 4 против».

История

Язык коэффициентов, такой как фраза «десять к одному» для интуитивно оцениваемых рисков, встречается в шестнадцатом веке, задолго до развития теории вероятностей. Шекспир писал:

> Знали, что мы рискуем в морях столь опасных,

> Что если б жизнь спасли, то против десяти к одному

— Уильям Шекспир, «Генрих IV, часть II», акт I, сцена 1, строки 181–182

Полимат шестнадцатого века Кардано (Cardano) продемонстрировал эффективность определения коэффициентов как отношения благоприятных исходов к неблагоприятным. Из этого определения следует, что вероятность события равна отношению благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Статистическое применение

В статистике коэффициенты выражают относительные вероятности, обычно указываемые как коэффициенты в пользу события. Коэффициент (в пользу) события — это отношение вероятности его наступления к вероятности его ненаступления. Математически это испытание Бернулли с ровно двумя исходами. При конечном пространстве равновероятных исходов это отношение числа исходов, при которых событие происходит, к числу исходов, при которых оно не происходит. Например, коэффициенты того, что случайно выбранный день недели приходится на выходной, составляют 2:5, так как неделя имеет семь дней, событие происходит в двух из них (суббота и воскресенье) и не происходит в пяти.

И наоборот, коэффициент против события — это обратное отношение. Например, коэффициент против выходного дня составляет 5:2.

Коэффициенты и вероятность можно выражать словами с предлогами «к» и «из»: «коэффициент столько-то к столько-то» относится к коэффициентам — отношению числа благоприятных и неблагоприятных исходов; «вероятность столько-то из столько-то» относится к вероятности. Например, «коэффициент выходного дня 2 к 5», но «вероятность выходного дня 2 из 7».

Математические соотношения

Коэффициенты можно выразить как отношение двух чисел, в этом случае оно не уникально — масштабирование обоих членов на один и тот же множитель не меняет пропорции. Коэффициенты также можно выразить одним числом, разделив члены отношения — в этом случае оно уникально.

Коэффициенты в пользу события и против него связаны простыми формулами с вероятностью. Коэффициенты варьируются от 0 до бесконечности, тогда как вероятности — от 0 до 1.

Если даны коэффициенты в пользу события как отношение W:L (число выигрышных исходов к числу проигрышных), то коэффициент в пользу и коэффициент против являются мультипликативными обратными.

Аналогично, при заданном отношении коэффициентов вероятность успеха и вероятность неудачи в сумме дают единицу, так как это единственно возможные исходы.

При заданной вероятности p коэффициент как отношение — это p к (1−p), и коэффициент как число можно вычислить делением.

Эти преобразования имеют особые геометрические свойства: все они являются преобразованиями Мёбиуса (дробно-линейными преобразованиями).

Применение

В теории вероятностей и статистике коэффициенты и подобные отношения часто более естественны или удобны, чем вероятности. В некоторых случаях используются логарифмические коэффициенты (логит вероятности). Коэффициенты часто умножаются или делятся, а логарифм преобразует умножение в сложение, а деление — в вычитание. Это особенно важно в логистической модели.

Похожие отношения используются в других областях статистики; центральное значение имеет отношение правдоподобия в байесовской статистике.

Коэффициенты особенно полезны в задачах последовательного принятия решений.

Отношение коэффициентов — это отношение двух коэффициентов, то есть отношение отношений вероятностей. Отношения коэффициентов часто используются при анализе клинических испытаний. Хотя они имеют полезные математические свойства, они могут давать контринтуитивные результаты: событие с вероятностью 80% в четыре раза более вероятно, чем событие с вероятностью 20%, но коэффициенты менее вероятного события в 16 раз выше.

**Пример 1**

Есть 5 розовых шариков, 2 синих и 8 фиолетовых. Каковы коэффициенты в пользу выбора синего шарика?

Ответ: Коэффициенты в пользу синего шарика составляют 2:13. Эквивалентно можно сказать, что коэффициенты 13:2 против. Есть 2 из 15 шансов в пользу синего, 13 из 15 против.

**Пример 2**

В первом примере выше, когда говорят, что коэффициенты воскресенья «один к шести», это означает, что вероятность случайно выбрать воскресенье в шесть раз меньше, чем вероятность не выбрать его. Коэффициенты против события с вероятностью p составляют (1−p)/p. Коэффициенты против воскресенья — 6:1 или 6. В шесть раз более вероятно, что случайный день — не воскресенье.

Применение в азартных играх

При подбрасывании монеты или скачках между двумя равными лошадьми разумно, чтобы две стороны делали равные ставки. Однако в более сложных ситуациях, таких как скачки с несколькими участниками или матч между неравными командами, ставки «с коэффициентами» позволяют учитывать различные вероятности исходов. Использование коэффициентов в азартных играх облегчает ставки на события с разными вероятностями.

В современную эпоху большинство ставок с фиксированными коэффициентами заключаются между букмекерской организацией и отдельным лицом, а не между двумя людьми. Различные традиции развились в способах представления коэффициентов клиентам.

Дробные коэффициенты

Предпочитаемые букмекерами в Великобритании и Ирландии, а также распространённые в конных скачках, дробные коэффициенты указывают чистую сумму, которая будет выплачена игроку при выигрыше, относительно ставки. Коэффициент 4/1 означает, что игрок может выиграть 400 фунтов на ставке в 100 фунтов. При коэффициенте 1/4 игрок выиграет 25 фунтов на ставке в 100 фунтов. В обоих случаях при выигрыше игрок получает обратно исходную ставку; так, при коэффициенте 4/1 игрок получает в итоге 500 фунтов (400 плюс исходные 100). Коэффициент 1/1 называется «равные шансы» или «чётные деньги».

Числитель и знаменатель дробных коэффициентов часто являются целыми числами. Если выплата букмекера составляет 1,25 фунта на каждый фунт ставки, это эквивалентно 5 фунтам на каждые 4 поставленных фунта, и коэффициент выражается как 5/4.

Дробные коэффициенты также известны как британские коэффициенты или традиционные коэффициенты. Они обычно представляются с «/», но могут быть представлены с «-«, например 4/1 или 4–1.

Вариация дробных коэффициентов известна как гонконгские коэффициенты. Дробные и гонконгские коэффициенты фактически взаимозаменяемы. Единственное различие в том, что британские коэффициенты представлены дробной нотацией (например, 6/5), а гонконгские — десятичной (например, 1,2). Оба показывают чистый возврат.

Десятичные коэффициенты

Европейские коэффициенты также представляют потенциальный выигрыш (чистый возврат), но дополнительно учитывают ставку (например, 6/5 или 1,2 плюс 1 = 2,2).

Предпочитаемые в континентальной Европе, Австралии, Новой Зеландии, Канаде и Сингапуре, десятичные коэффициенты указывают отношение суммы выплаты, включая исходную ставку, к самой ставке. Таким образом, десятичный коэффициент исхода эквивалентен десятичному значению дробного коэффициента плюс один. Так, равные шансы 1/1 указываются как 2,00 в десятичных коэффициентах. Коэффициент 4/1 указывается как 5,00, а коэффициент 1/4 — как 1,25. Это считается идеальным для парлей, так как выплачиваемые коэффициенты — это просто произведение коэффициентов каждого исхода. При рассмотрении десятичных коэффициентов в терминах ставок аутсайдер имеет более высокий из двух десятичных коэффициентов, а фаворит — более низкий. Формула для расчёта десятичных коэффициентов: Выплата = Исходная ставка × Десятичное значение. Например, если поставить 100 евро на победу Ливерпуля над Манчестер Сити при коэффициенте 2,00, выплата, включая ставку, составит 200 евро (100 × 2,00). Десятичные коэффициенты предпочитаются букмекерскими биржами, так как с ними легче работать при торговле, и они отражают обратную вероятность исхода. Например, коэффициент 5,00 соответствует вероятности 1 / 5,00 = 0,20 или 20%.

Десятичные коэффициенты также известны как европейские коэффициенты, цифровые коэффициенты или континентальные коэффициенты.

Коэффициенты Moneyline

Коэффициенты Moneyline предпочитаются американскими букмекерами. Указанная цифра либо положительна, либо отрицательна.

• Когда коэффициенты Moneyline положительны, цифра указывает чистый выигрыш на ставку в 100 долларов (для исхода, считающегося менее вероятным). Например, чистый выигрыш 4/1 указывается как +400.
• Когда коэффициенты Moneyline отрицательны, цифра указывает, сколько денег нужно поставить для чистого выигрыша в 100 долларов (для исхода, считающегося более вероятным). Например, чистый выигрыш 1/4 указывается как −400.

Коэффициенты Moneyline часто называют американскими коэффициентами. Ставка «moneyline» — это ставка на прямой исход игры без учёта разницы в очках. В большинстве случаев фаворит имеет отрицательные коэффициенты Moneyline (меньшая выплата за более безопасную ставку), а аутсайдер — положительные (большая выплата за рискованную ставку). Однако если команды равны по силам, обе могут иметь отрицательную линию одновременно (например, −110 −110 или −105 −115) из-за комиссии букмекера.

Оптовые коэффициенты

Оптовые коэффициенты — это «истинные коэффициенты» или 100% вероятность наступления события. Эта 100% книга отображается без прибыльной маржи букмекера, часто называемой «переполнением» букмекера.

Индекс «оптовых коэффициентов» — это индекс всех цен на вероятностном рынке, работающем с 100% конкурентоспособностью и отображаемом без какой-либо прибыльной маржи для участников рынка.

Коэффициенты в азартных играх и вероятности

В азартных играх отображаемые коэффициенты не представляют истинные шансы (по мнению букмекера) того, что событие произойдёт или не произойдёт, а представляют сумму, которую букмекер выплатит при выигрышной ставке вместе с требуемой ставкой. При формировании отображаемых коэффициентов букмекер включает прибыльную маржу, что означает, что выплата успешному игроку меньше, чем представлена истинной вероятностью события. Эта прибыль известна как «переполнение» книги и связана с суммой коэффициентов.

Например, в скачках с тремя лошадьми истинные вероятности победы каждой лошади на основе их относительных способностей могут быть 50%, 40% и 10%. Сумма этих трёх процентов составляет 100%, представляя справедливую книгу. Истинные коэффициенты против победы для каждой из трёх лошадей составляют 1–1, 3–2 и 9–1 соответственно.

Чтобы получить прибыль от принятых ставок, букмекер может решить увеличить значения до 60%, 50% и 20% для трёх лошадей соответственно. Это представляет коэффициенты против каждой, которые составляют 4–6, 1–1 и 4–1 в порядке. Эти значения теперь в сумме дают 130%, означая, что книга имеет переполнение в 30 (130−100). Это значение 30 представляет прибыль букмекера, если он получит ставки, требующие ему выплатить одинаковую сумму независимо от того, какая лошадь победит. Например, если он принимает ставки в 60, 50 и 20 фунтов соответственно на трёх лошадей, он получает 130 фунтов в ставках, но выплачивает только 100 фунтов обратно (включая ставки), независимо от того, какая лошадь победит. Ожидаемое значение его прибыли положительно даже если все ставят на одну лошадь, потому что коэффициенты для каждой лошади хуже, чем фактические вероятности. Искусство букмекерства заключается в установлении коэффициентов достаточно низкими, чтобы иметь положительное ожидаемое значение прибыли, при этом держа их достаточно высокими, чтобы привлечь клиентов, и одновременно привлекая достаточно ставок на каждый исход, чтобы снизить свой риск. Если он может привлечь одинаковое количество ставок (точнее, одинаковые суммы выплат) на каждый исход, то он гарантированно не потеряет деньги и получит прибыль, если его переполнение положительно.

Исследование ставок на футбол показало, что вероятность победы домашней команды была примерно на 3,4% ниже значения, рассчитанного из коэффициентов (например, 46,6% при равных коэффициентах). Для побед гостей она была примерно на 3,7% ниже, а для ничьих — на 5,7% ниже.

Получение прибыли в азартных играх включает предсказание соотношения истинных вероятностей к коэффициентам выплат. Профессиональные и полупрофессиональные спортивные игроки часто используют информационные услуги по спорту для достижения этой цели.

Коэффициенты или суммы, которые букмекер выплатит, определяются общей суммой, поставленной на все возможные события. Они отражают баланс ставок с обеих сторон события и включают вычет комиссии букмекера (комиссия или «vigorish»).

Кроме того, в зависимости от того, как ставки регулируются юрисдикцией, могут быть задействованы налоги для букмекера и/или выигрывающего игрока. Это может быть учтено при предложении коэффициентов и/или может снизить сумму, выигранную игроком.