Испытание Бернулли: формулы и примеры

Испытание Бернулли — это фундаментальное понятие в теории вероятностей, описывающее случайный эксперимент с двумя возможными исходами: успехом или неудачей. Это математическое явление лежит в основе анализа многих реальных процессов и широко применяется в статистике, азартных играх и научных исследованиях.

Любой эксперимент с двумя возможными случайными исходами

В теории вероятностей и статистике испытание Бернулли (или биномиальное испытание) — это случайный эксперимент ровно с двумя возможными исходами: «успех» и «неудача», при котором вероятность успеха остаётся одинаковой при каждом проведении эксперимента. Названо в честь Якоба Бернулли (Jacob Bernoulli), швейцарского математика XVII века, который проанализировал их в своём труде «Ars Conjectandi» (1713).

Математическая формализация и развитая формулировка испытания Бернулли известна как процесс Бернулли.

Поскольку испытание Бернулли имеет только два возможных исхода, его можно сформулировать как вопрос «да или нет». Например:

• Является ли верхняя карта перетасованной колоды тузом?
• Был ли новорождённый ребёнок девочкой?

В этом контексте «успех» и «неудача» — это просто названия двух исходов, которые не следует понимать буквально или как оценочные суждения. В более общем смысле, для любого вероятностного пространства и любого события можно определить испытание Бернулли в зависимости от того, произошло ли это событие или нет. Примеры испытаний Бернулли включают:

• Бросание монеты. В этом контексте орёл обычно обозначает успех, а решка — неудачу. Для честной монеты вероятность успеха равна 0,5 по определению.
• Бросание кубика, где выпадение шестёрки считается «успехом», а всё остальное — «неудачей». Здесь есть шесть возможных исходов, но событие — только один из них.
• Проведение опроса общественного мнения, когда случайно выбранного избирателя спрашивают, будет ли он голосовать «за» на предстоящем референдуме.

Основные положения

Предположим, существует эксперимент, состоящий из независимо повторяемых испытаний, каждое из которых имеет только два возможных исхода. Пусть p — вероятность успеха в испытании Бернулли, а q — вероятность неудачи. Тогда вероятность успеха и вероятность неудачи в сумме дают единицу, так как это взаимно исключающие и исчерпывающие события:

p = 1 − q, q = 1 − p, p + q = 1

Альтернативно, это можно выразить через шансы: при вероятности успеха p и неудачи q шансы в пользу успеха равны p:q, а шансы против успеха равны q:p.

В случае, когда испытание Бернулли представляет событие из конечного числа равновероятных исходов, где S исходов — успех и F исходов — неудача, формулы для вероятности и шансов имеют вид:

p = S/(S+F)

q = F/(S+F)

Случайные величины, описывающие испытания Бернулли, часто кодируют с использованием соглашения: 1 = «успех», 0 = «неудача».

Тесно связан с испытанием Бернулли биномиальный эксперимент, который состоит из фиксированного числа n статистически независимых испытаний Бернулли, каждое с вероятностью успеха p, и подсчитывает количество успехов. Случайная величина, соответствующая биномиальному эксперименту, обозначается B(n,p) и имеет биномиальное распределение.

Вероятность ровно k успехов в эксперименте B(n,p) задаётся формулой:

P(k) = C(n,k) × p^k × q^(n-k)

где C(n,k) — биномиальный коэффициент.

Испытания Бернулли также могут приводить к отрицательным биномиальным распределениям и различным другим распределениям.

Когда проводятся множественные испытания Бернулли, каждое со своей собственной вероятностью успеха, они иногда называются испытаниями Пуассона.

Примеры

Бросание монет

Рассмотрим простой эксперимент, в котором честная монета бросается четыре раза. Найти вероятность того, что ровно два броска дадут орла.

Решение

В этом эксперименте орёл определяется как успех, а решка как неудача. Поскольку монета честная, вероятность успеха p = 1/2. Таким образом, вероятность неудачи q = 1 − 1/2 = 1/2.

Используя формулу выше, вероятность ровно двух орлов из четырёх бросков:

P(2) = C(4,2) × (1/2)² × (1/2)² = 6 × 1/4 × 1/4 = 3/8

Бросание кубиков

Какова вероятность того, что при бросании трёх независимых честных шестигранных кубиков ровно два выпадут на шестёрку?

Решение

На одном кубике вероятность выпадения шестёрки p = 1/6. Таким образом, вероятность того, что не выпадет шестёрка, q = 1 − 1/6 = 5/6.

Вероятность ровно двух шестёрок из трёх:

P(2) = C(3,2) × (1/6)² × (5/6)¹ = 3 × 1/36 × 5/6 = 5/72 ≈ 0,069

Что такое испытание Бернулли и его основные свойства