ICM в покере: модель расчёта призовых

ICM модель покера — это математический инструмент для определения справедливого распределения призового фонда, когда турнир прерывается до его завершения. Разработанная в 1973 году, эта модель стала стандартом для анализа стратегии и проведения переговоров между участниками турниров. Понимание ICM критически важно для серьёзных покеристов, которые хотят правильно оценивать свои шансы и принимать обоснованные решения о сделках.

Математическая модель в покере

В покере модель независимых фишек (Independent Chip Model, ICM), также известная как метод Малмута–Харвилля, — это математическая модель, которая приближённо определяет долю игрока в общем призовом фонде незавершённого турнира. Дэвид Харвилль (David Harville) впервые разработал эту модель в 1973 году в статье о конных скачках; в 1987 году Мейсон Малмут (Mason Malmuth) независимо переоткрыл её для покера. В ICM предполагается, что все игроки имеют одинаковый уровень мастерства, поэтому текущие размеры стеков полностью определяют распределение вероятностей финального места игрока. Модель затем аппроксимирует это распределение вероятностей и вычисляет ожидаемый выигрыш.

Покеристы часто используют термин ICM для обозначения симулятора, который помогает игроку разработать стратегию турнира. ICM можно применять для ответа на конкретные вопросы, такие как:

• Диапазон рук, с которыми игрок может пойти ва-банк, учитывая предыдущую игру
• Диапазон рук, с которыми игрок может уравнять ва-банк противника или переехать ва-банком; и какой курс действий оптимален, учитывая оставшиеся стеки противников
• При обсуждении сделки, сколько денег должен получить каждый игрок

Такие симуляторы редко используют неизменённую модель Малмута–Харвилля. Помимо структуры выплат, калькулятор ICM по методу Малмута–Харвилля также требует в качестве входных данных количество фишек всех игроков, которое может быть недоступно. Модель Малмута–Харвилля также даёт плохие оценки для маловероятных событий и вычислительно неразрешима при большом количестве игроков.

Модель

Исходная модель ICM работает следующим образом:

• Вероятность финиша каждого игрока на 1-м месте пропорциональна количеству его фишек.
• В противном случае, если игрок k финиширует 1-м, то игрок i финиширует 2-м с вероятностью, равной отношению его фишек к оставшимся фишкам.
• Аналогично, если игроки финишируют на позициях 1, …, j-1, то игрок i финиширует на j-й позиции с вероятностью, равной отношению его фишек к сумме фишек всех оставшихся игроков.
• Совместное распределение финальных мест игроков является произведением этих условных вероятностей.
• Ожидаемый выигрыш — это взвешенная по выплатам сумма этих совместных вероятностей по всем n! возможным расстановкам n игроков.

Например, предположим, что игроки A, B и C имеют соответственно 50%, 30% и 20% фишек турнира. Выплата за 1-е место составляет 70 единиц, за 2-е место — 30 единиц. Тогда вероятность того, что A финиширует 1-м, B — 2-м, а C — 3-м, равна 0,3. Вероятность того, что A финиширует 1-м, C — 2-м, а B — 3-м, равна 0,2. Вероятность того, что B финиширует 1-м, A — 2-м, а C — 3-м, составляет примерно 0,21. Вероятность того, что B финиширует 1-м, A — 3-м, а C — 2-м, составляет примерно 0,09. Вероятность того, что C финиширует 1-м, A — 2-м, а B — 3-м, составляет примерно 0,13. Вероятность того, что C финиширует 1-м, A — 3-м, а B — 2-м, составляет примерно 0,08.

Ожидаемый выигрыш игрока A составляет примерно 45 единиц, или 90% от его текущего стека. Ожидаемый выигрыш игрока B составляет примерно 32 единицы, или 110% от его текущего стека. Ожидаемый выигрыш игрока C составляет примерно 22 единицы, или 110% от его текущего стека.

Сравнение с задачей о разорении игрока

Поскольку ICM игнорирует мастерство игроков, классическая задача о разорении игрока также моделирует пропущенные раунды покера, но более точно. Формулы Харвилля–Малмута совпадают с оценками задачи о разорении только в случае двух игроков. При трёх или более игроках они дают вводящие в заблуждение вероятности, но адекватно аппроксимируют ожидаемый выигрыш.

Например, предположим, что очень мало игроков (например, 3 или 4). В этом случае метода конечных элементов достаточно для точного решения задачи о разорении. Экстремальные случаи выглядят следующим образом:

Распределение фишек 25/87/88 даёт наибольшую абсолютную разницу между вероятностью ICM и методом конечных элементов (0,0360) и наибольшую разницу в турнирном капитале ($0,36). Однако относительная разница в капитале невелика: всего 1,42%. Наибольшая относительная разница немного больше (1,43%), соответствуя распределению 21/89/90. Распределение 198/1/1 даёт наибольшую относительную разницу в вероятности (4900%), но только для крайне маловероятного события.

Результаты в случае четырёх игроков аналогичны.

Как работает ICM модель покера