Вакантные места в бридже

Метод оценки, используемый в карточной игре бридж

В карточной игре бридж принцип вакантных мест — это простой метод для определения вероятного расположения любой конкретной карты в двух невидимых раздачах. Его можно использовать как для принятия решения во время игры, так и для вывода всей таблицы вероятностей распределения мастей.

В начале раздачи каждая из четырёх рук содержит тринадцать карт, и можно сказать, что в каждой руке есть тринадцать вакантных мест. Вероятность того, что конкретная карта находится в конкретной руке, составляет одну четверть, или 13/52 — долю вакантных мест в этой руке. С точки зрения игрока, видящего одну руку, вероятность нахождения недостающей карты в одной из других рук составляет одну треть. В контрактном бридже (Contract Bridge) после начала игры болван открывается, поэтому для любого игрока остаются только две невидимые руки, где может находиться карта.

Принцип вакантных мест — это правило для обновления этих равномерных вероятностей по мере получения информации о раздаче во время торговли и игры. По сути, по мере того как становится известным расположение некоторых карт — особенно когда становятся известны полные распределения некоторых мастей — шансы на расположение любой другой конкретной карты остаются пропорциональны уменьшающемуся числу неопознанных карт во всех руках, то есть числу так называемых вакантных мест.

Принцип вакантных мест вытекает из теории условной вероятности, основанной на теореме Байеса.

Как работают расчёты вакантных мест за столом

Мы разыгрываем контракт в червах с комбинацией козырей Kxxx на болване и AJxxx в руке. Недостаёт четырёх червей: дамы и трёх карт младшего достоинства (♥Qxxx). Мы играем малую карту к королю, оба противника кладут малые карты, и ведём ещё одну малую черву (♥2). Последняя из трёх младших карт появляется справа, остаётся одна неразыгранная черва — дама. Поскольку никто не сыграет дамой, имея при этом младшую карту, мы не узнали ничего прямого о расположении дамы, только о распределении трёх младших карт: одна слева и две справа. В момент принятия решения мы можем выполнить расчёт вакантных мест.

Сначала предположим, что мы ничего не знаем о других мастях, вероятно, потому что противники не делали заявок. Тогда мы знаем только одну малую черву слева и две справа. Это оставляет двенадцать «вакантных мест» для ♥Q слева и одиннадцать вакантных мест справа. Если дама находится в 12 из 23 вакантных мест слева, мы выигрываем, играя тузом; дама падает. В 11 из 23 вакантных мест мы выигрываем, играя валетом, а затем тузом, сбивая даму справа на следующем ходу в червах. Таким образом, шансы в пользу игры тузом составляют 12 к 11; туз имеет небольшое преимущество для выигрыша дополнительной взятки. Доля 12/23 = 52,174% — это ровно вероятность, которая появляется в стандартных каталогах комбинаций мастей.

Однако обратите внимание, что этот расчёт доступен только в масти черв, потому что мы учли все остальные черви, то есть все черви, кроме того, который мы ещё ищем. Если бы нам не хватало всего пяти червей, то расчёт вакантных мест не мог бы быть применён.

Альтернативно, предположим, что левый противник (LHO) сдавал и открыл 2♠ (слабую заявку); мы достигли контракта в червах без дальнейших заявок противников; и у нас есть пять пик между болваном и рукой, оставляя восемь для противников. Мы можем предположить, что LHO имеет шесть пик, а RHO две. Это оставляет семь и одиннадцать вакантных мест для остальных трёх мастей. Комбинация в червах и игра остаются такими же, как обсуждалось выше. Теперь есть шесть вакантных мест для ♥Q слева и девять справа. Шансы теперь 6 к 9 против дамы слева. Доля 9/15 = 60% — это вероятность того, что RHO держит даму и игра валетом выиграет масть.

Как работают расчёты вакантных мест вне стола

Представим, что нам нужно построить набор таблиц вероятностей для показа того, как может распределяться масть. Предположим, что нам не хватает трёх карт в масти и мы ничего не знаем о распределении других мастей. Когда мы «раздаём» первую из трёх карт, мы можем положить её в любую руку. По определению, каждая рука имеет 13 вакантных мест, поэтому вероятность попадания в любую руку составляет 50%. Теперь предположим, что мы хотим узнать вероятность распределения 3–0. Первая карта уже в руке, скажем, Востока. Теперь у него осталось только 12 вакантных мест, поэтому вероятность того, что эта рука получит вторую из трёх карт, составляет 12/(12 + 13). Это должно быть умножено на начальную вероятность 1/2. Теперь разыграем третью (последнюю) из недостающих карт. К этому времени у Востока осталось 11 вакантных мест, а у Запада всё ещё 13. Вероятность того, что Восток получит все три недостающие карты, составляет 1/2 × 12/25 × 11/24 = 0,11.

Теперь рассчитаем вероятность распределения 2–2 при недостающих четырёх картах. Расчёт выглядит следующим образом:

13/26 × 12/25 × 13/24 × 12/23 = (3 × 13) / (23 × 25) = 0,067826.

Эта величина должна быть умножена на 6 — ровно столько способов, сколькими может появиться распределение 2–2. Итоговая вероятность распределения 2–2 составляет 0,067826 × 6 = 0,4069565217.

Вероятности других распределений мастей можно рассчитать аналогичным образом.