Принцип ограниченного выбора в бридже

Руководство в карточных играх

Принцип ограниченного выбора — это руководство, используемое в карточных играх, таких как контрактный бридж (contract bridge), для интуитивного определения скрытой информации. Его можно сформулировать так: «Розыгрыш карты, которая могла быть выбрана из нескольких равноценных вариантов, повышает вероятность того, что у игрока был расклад, при котором его выбор был ограничен». Главное преимущество — это помогает играть «в ситуациях, которые раньше считались угадыванием».

Например, Юг ведёт малую пику, Запад кладёт малую, Север кладёт даму, Восток берёт королём. Туз и король — равноценные карты; розыгрыш королём Востоком снижает вероятность того, что у Востока есть туз, и повышает вероятность того, что туз у Запада. Принцип помогает другим игрокам определить расположение ненаблюдаемых равноценных карт, таких как туз пик, после того как они увидели короля. Увеличение или уменьшение вероятности — это пример байесовского обновления по мере накопления доказательств, а конкретные применения принципа ограниченного выбора похожи на задачу Монти Холла (Monty Hall problem).

Во многих таких ситуациях правило, вытекающее из принципа, состоит в том, чтобы играть на разделение онеров. После наблюдения одной равноценной карты следует продолжать игру так, как если бы две равноценные карты были разделены между противниками, так что не было выбора, какую из них играть. Тот, кто сыграл первую, не имеет второй.

Когда количество равноценных карт больше двух, принцип усложняется, потому что их равноценность может быть не очевидна. Когда один партнёр держит ♣Q и ♣10, а другой держит ♣J, обычно верно, что эти три карты равноценны, но тот, кто держит две из них, об этом не знает. Принцип ограниченного выбора всегда вводится в терминах двух соседних карт — карт последовательного ранга в одной масти, таких как ♥QJ или ♦KQ, — где равноценность очевидна.

Если нет причины предпочесть конкретную карту (например, для сигнала партнёру), игрок, держащий две или более равноценные карты, иногда должен рандомизировать порядок их розыгрыша (см. примечание о равновесии Нэша). Вероятностные расчёты при рассмотрении принципа ограниченного выбора часто предполагают равномерную рандомизацию, но это проблематично.

Принцип ограниченного выбора применяется даже к выбору противником начального хода из равноценных мастей.

Пример

Рассмотрим комбинацию мастей, представленную слева. В руке Юга (закрытой) находятся четыре пики ♠8754, а в руке Севера (болвана, видны всем игрокам) — пять ♠AJ1096. Запад и Восток держат оставшиеся четыре пики ♠KQ32 в своих двух закрытых руках.

До начала розыгрыша с точки зрения Юга возможны 16 различных раскладов пик у Запада и Востока. Они перечислены в Таблице 1, упорядочены сначала по «разделению» от равного к неравному количеству карт, затем по силе карт Запада от старших к младшим.

Юг ведёт малую пику, Запад кладёт ♠2 (или ♠3), болван Север кладёт ♠J, Восток берёт ♠K. Позже, выиграв взятку в побочной масти, Юг ведёт ещё одну малую пику, Запад кладёт малую ♠3 (или ♠2). В этот момент, когда Север и Восток ещё не сыграли, местоположение только ♠Q не установлено. Юг находится в точке принятия решения и знает, что из исходных 16 раскладов возможны только два (выделены жирным в Таблице 1), так как Запад сыграл обе малые карты, а Восток — короля. На первый взгляд может показаться, что шансы теперь равны 1:1, поэтому Юг должен ожидать одинакового успеха с любым из двух возможных продолжений. Однако принцип ограниченного выбора говорит нам, что хотя оба расклада возможны, вероятности составляют 2:1 в пользу предположения, что у Запада Q32, и поэтому следует играть десятку.

Если бы у Востока была ♠KQ, он мог бы с равной вероятностью сыграть даму вместо короля. Таким образом, некоторые раздачи с исходным раскладом 32 и KQ не достигли бы этого этапа; вместо этого они достигли бы параллельного этапа с отсутствующим только ♠K, когда Юг наблюдал бы 32 и Q. Напротив, каждая раздача с исходным раскладом Q32 и K достигла бы этого этапа, так как Восток сыграл короля по необходимости (без выбора, или «ограниченным выбором»).

Если бы Восток брал первую взятку королём или дамой с равной вероятностью из ♠KQ, то исходный расклад 32 и KQ достигал бы этого этапа в половине случаев и выбирал бы другой путь в половине случаев. Таким образом, при фактической последовательности розыгрыша шансы не равны, а один к двум, или 1:2. Восток удерживал бы даму из исходного ♠KQ примерно в одной трети случаев и не удерживал бы пик из исходного ♠K примерно в двух третях случаев. Принцип ограниченного выбора предполагает, что импас, играя ♠10, имеет почти в два раза больше шансов на успех.

Важно отметить, что это предполагает, что защитники не имеют системы сигналов, так что розыгрыш Западом (скажем) тройки, а затем двойки не сигнализирует о дублтоне. На протяжении многих равноценных раздач Восток с ♠KQ должен в теории брать первую взятку королём или дамой с равной вероятностью; то есть в половине случаев каждый без какой-либо закономерности.

Дальнейшая точность

Априори четыре оставшиеся карты «разделяются» как показано в первых двух колонках Таблицы 2 ниже. Например, три карты вместе и четвёртая отдельно — это «разделение 3-1» с вероятностью 49,74%. Чтобы понять «количество конкретных раскладов», обратитесь к предыдущему списку всех раскладов в Таблице 1.

Последняя колонка дает априорную вероятность любого конкретного исходного расклада, такого как 32 и KQ; он представлен первой строкой, охватывающей разделение 2–2. Другой расклад, представленный в нашем примере розыгрыша пик, Q32 и K, представлен второй строкой, охватывающей разделение 3–1.

Таким образом, таблица показывает, что априорные шансы на эти два конкретных расклада были не равны, а немного в пользу первого, примерно 6,78 к 6,22 для ♠KQ против ♠K.

Каковы апостериорные шансы в момент истины в нашем примере розыгрыша пик? Если Восток с ♠KQ берёт первую взятку с равной вероятностью королём или дамой — и с ♠K берёт первую взятку королём, не имея выбора — апостериорные шансы составляют 3,39 к 6,22, немного больше чем 1:2, в процентном выражении немного больше чем 35% для ♠KQ. Игра туза ♠A из Севера на второй круг должна выиграть примерно в 35% случаев, в то время как повторный импас с десяткой ♠10 выигрывает примерно в 65% случаев.

Принцип ограниченного выбора является общим, но этот конкретный вероятностный расчёт предполагает, что Восток берёт королём из ♠KQ ровно в половине случаев (что является оптимальным). Если Восток берёт королём из ♠KQ больше или меньше чем в половине случаев, то Юг выигрывает больше или меньше чем в 35% случаев, играя туза. Действительно, если Восток берёт королём в 92% случаев (=6,22/6,78), то Юг выигрывает в 50% случаев, играя туза, и в 50% случаев, повторяя импас. Однако если это верно, то Юг выигрывает почти в 100% случаев, повторяя импас после того, как Восток берёт дамой — так как дама от этого Востока почти исключает короля.

Математическая теория

Принцип ограниченного выбора является применением теоремы Байеса об условной вероятности. В следующем: Kp представляет условие, что король сыгран Востоком на первой взятке; KQ представляет условие, что Восток держит KQ; и K представляет условие, что Восток держит K.

Два условия следующие:

P(KQ∣Kp)=P(Kp∣KQ)P(KQ)P(Kp)P(K∣Kp)=P(Kp∣K)P(K)P(Kp)

Мы предполагаем, что когда Восток держит KQ, он играет каждую в 50% случаев, а когда он держит только K, он должен играть K. Это представлено следующим:

P(Kp∣KQ)=0.5P(Kp∣K)=1

Кроме того, на основе розыгрыша первой взятки, только два из исходных 16 (то есть априорных) возможных раскладов, показанных в Таблице 1 выше, остаются доступными для Востока, каждый одинаково возможный.

P(K)≈P(KQ)

Решая, мы находим (апостериорно), что…

P(K∣Kp)≈2∗P(KQ∣Kp)

В заключение мы можем сказать, что «после того как Восток сыграл K на первом круге, вероятность того, что Восток начинал с одиночного K, в два раза выше, чем вероятность того, что он начинал с KQ».

Первые два уравнения — это теорема Байеса, остальное — простая алгебра.

Увеличение и уменьшение вероятностей исходных раскладов карт противников по мере развития розыгрыша являются примерами байесовского обновления по мере накопления доказательств.