Метод Ванна–Волга: оценка опционов

Математический инструмент в финансах

Метод Ванна–Волга (Vanna–Volga) — это математический инструмент, используемый в финансах. Это техника для оценки экзотических опционов первого поколения на рынке валютных производных (FX derivatives).

Описание

Метод заключается в корректировке теоретической стоимости по модели Блэка–Шоулза (BSTV) на стоимость портфеля, который хеджирует три основных риска, связанных с волатильностью опциона: Вегу (V), Ванну и Волгу.

Ванна представляет собой чувствительность Веги к изменению спотового курса валютной пары:

Ванна = ∂V/∂S

Аналогично, Волга — это чувствительность Веги к изменению подразумеваемой волатильности σ:

Волга = ∂V/∂σ

Если рассмотреть структуру улыбки волатильности σ(K) с центральным страйком K₀, центральной волатильностью σ₀, волатильностями 25-дельта колла/пута σ(Kc/p) и соответствующими страйками Kc/p (полученными путём решения уравнений для дельты), то хеджирующий портфель будет состоять из стратегий на деньгах (ATM), обратного риска (RR) и бабочки (BF):

ATM(K₀) = ½(Call(K₀, σ₀) + Put(K₀, σ₀))

RR(Kc, Kp) = Call(Kc, σ(Kc)) − Put(Kp, σ(Kp))

BF(Kc, Kp) = ½(Call(Kc, σ(Kc)) + Put(Kp, σ(Kp))) − ATM(K₀)

где Call(K, σ) — цена колл-опциона по модели Блэка–Шоулза (аналогично для пута).

Простейшая формулировка метода Ванна–Волга предполагает, что цена X^VV экзотического инструмента X определяется как:

X^VV = X^BS + (X_vanna / RR_vanna) × RR_cost + (X_volga / BF_volga) × BF_cost

где X^BS — цена экзотического опциона по модели Блэка–Шоулза, греки рассчитываются с использованием центральной волатильности, а:

RR_cost = [Call(Kc, σ(Kc)) − Put(Kp, σ(Kp))] − [Call(Kc, σ₀) − Put(Kp, σ₀)]

BF_cost = ½[Call(Kc, σ(Kc)) + Put(Kp, σ(Kp))] − ½[Call(Kc, σ₀) + Put(Kp, σ₀)]

Эти величины представляют стоимость улыбки — разницу между ценой, рассчитанной с учётом и без учёта эффекта улыбки.

Логика приведённой выше формулировки заключается в том, что стоимость улыбки экзотического опциона можно извлечь, измеряя стоимость улыбки портфеля, предназначенного для хеджирования его рисков Ванны и Волги. Стратегии BF и RR выбираются потому, что это ликвидные FX-инструменты, которые несут в основном риски Волги и Ванны соответственно. Весовые коэффициенты w_RR и w_BF представляют соответственно количество RR, необходимое для репликации Ванны опциона, и количество BF, необходимое для репликации его Волги.

Приведённый выше подход игнорирует небольшую (но ненулевую) долю Волги, переносимую RR, и небольшую долю Ванны, переносимую BF. Он также пренебрегает стоимостью хеджирования риска Веги. Это привело к более общей формулировке метода Ванна–Волга, в которой предполагается, что в рамках предположений модели Блэка–Шоулза Вега, Ванна и Волга экзотического опциона могут быть реплицированы взвешенной суммой трёх инструментов:

X_i = w_ATM × ATM_i + w_RR × RR_i + w_BF × BF_i, где i = vega, vanna, volga

где весовые коэффициенты получаются путём решения системы:

x⃗ = A × w⃗

с матрицей A, содержащей греки для каждой стратегии.

Учитывая эту репликацию, метод Ванна–Волга корректирует цену BS экзотического опциона на стоимость улыбки взвешенной суммы:

X^VV = X^BS + w_RR(RR^mkt − RR^BS) + w_BF(BF^mkt − BF^BS)

Величины Ω_i можно интерпретировать как рыночные цены, приписываемые единице Веги, Ванны и Волги соответственно. Однако полученная коррекция обычно оказывается слишком большой. Практики на рынке поэтому модифицируют формулу, вводя коэффициенты затухания:

X^VV = X^BS + p_vanna × X_vanna × Ω_vanna + p_volga × X_volga × Ω_volga

Вклад Веги оказывается на несколько порядков меньше, чем члены Ванны и Волги во всех практических ситуациях, поэтому его пренебрегают.

Коэффициенты p_vanna и p_volga вводятся вручную и представляют факторы, обеспечивающие корректное поведение цены экзотического опциона вблизи барьера: по мере постепенного приближения уровня барьера отключения B к спотовому уровню S₀, цена BSTV опциона с отключением должна монотонно убывать, сходясь к нулю ровно при B = S₀. Поскольку метод Ванна–Волга — это простое практическое правило, а не строгая модель, нет гарантии, что это будет априори верно. Коэффициенты затухания имеют разные формы для Ванны и Волги инструмента. Это связано с тем, что при значениях барьера, близких к спотовому уровню, они ведут себя по-разному: Ванна становится большой, тогда как Волга становится малой. Поэтому коэффициенты затухания принимают форму:

p_vanna = a × γ

p_volga = b + c × γ

где γ ∈ [0, 1] представляет некоторую меру близости барьера к спотовому уровню со свойствами:

γ = 0 при S₀ → B

γ = 1 при |S₀ − B| ≫ 0

Коэффициенты a, b, c находятся путём калибровки модели, чтобы обеспечить воспроизведение ванильной улыбки. Хорошие кандидаты для γ, обеспечивающие надлежащее поведение вблизи барьеров — это вероятность выживания и ожидаемое время первого выхода. Обе эти величины обладают желаемым свойством обращаться в нуль вблизи барьера.

Вероятность выживания

Вероятность выживания p_surv ∈ [0, 1] относится к вероятности того, что спотовый курс не коснётся одного или нескольких уровней барьеров {B_i}. Например, для опциона с одним барьером:

p_surv = E[1_{S_t < B, t_tod < t < t_mat}] = NT(B) / DF(t_tod, t_mat)

где NT(B) — стоимость опциона без касания, а DF(t_tod, t_mat) — дисконтный коэффициент между сегодняшним днём и датой погашения. Аналогично, для опционов с двумя барьерами вероятность выживания определяется через недисконтированную стоимость опциона двойного без касания.

Время первого выхода

Время первого выхода (FET) — это минимум между: (i) временем в будущем, когда ожидается, что спотовый курс выйдет из зоны барьера до погашения, и (ii) датой погашения, если спотовый курс не коснулся ни одного из уровней барьеров до погашения. То есть, если обозначить FET через u(S_t, t), то u(S_t, t) = min{φ, T}, где φ = inf{ℓ ∈ [0, T)} такой, что S_{t+ℓ} > H или S_{t+ℓ} < L, где L, H — уровни нижнего и верхнего барьеров, а S_t — спотовый курс на сегодня.

Время первого выхода является решением следующего дифференциального уравнения в частных производных:

∂u(S,t)/∂t + ½σ²S² × ∂²u(S,t)/∂S² + μS × ∂u(S,t)/∂S = 0

Это уравнение решается в обратном времени, начиная с граничного условия u(S, T) = T, где T — время до погашения, и граничных условий u(L, t’) = u(H, t’) = t’. В случае опциона с одним барьером используется то же дифференциальное уравнение либо с H ≫ S₀, либо с L ≪ S₀. Параметр μ представляет нейтральный к риску дрейф базового стохастического процесса.