Комбинация мастей в бридже

Специфический набор карт одной масти в бридже

В карточной игре контрактный бридж (contract bridge) комбинация масти — это определённый набор карт одной масти, которые находятся в руках разыгрывающего и болвана в начале игры. Хотя ранги оставшихся карт у защитников можно определить точно, их расположение неизвестно. Оптимальная игра комбинации масти учитывает все возможные расклады карт у защитников.

Термин также используется для обозначения последовательности ходов разыгрывающего и болвана с учётом ответных ходов противников — то есть плана или стратегии игры разыгрывающего с учётом его карт и целевого количества взяток.

Помимо понимания возможных начальных комбинаций и вероятностей расположения карт противников в масти, разыгрывающий может получить дополнительную информацию из торговли, первого хода и предыдущих сыгранных карт, чтобы определить вероятное расположение оставшихся карт.

Примеры

На диаграмме слева показана комбинация червей: шесть карт у болвана (Север, вверху) и четыре у разыгрывающего (Юг, внизу). Разыгрывающий может определить, что у противников остаётся только три червы — король, десятка и восьмёрка, но их точное расположение неизвестно. Таблица справа показывает восемь возможных раскладов этих трёх карт; комбинация масти и её диаграмма неявно включают все восемь вариантов.

По мере уменьшения количества карт в конкретной масти у разыгрывающего и болвана количество карт у противников увеличивается, так как в каждой масти всегда тринадцать карт. Математически количество возможных комбинаций из n карт у противников равно 2ⁿ. В приведённом выше примере три карты распределяются 2³ или 8 способами (2×2×2 = 8).

В этом примере противники держат четыре карты 2⁴ или 16 способами (2×2×2×2 = 16).

В этом примере противники держат пять карт 2⁵ или 32 способами (2×2×2×2×2 = 32).

Представление

Обычно в стандартных пособиях по бриджу не все малые карты явно указываются, и представление руки становится более универсальным путём замены определённых карт на «x», где «x» обозначает двойку или любую другую карту, достаточно низкую, чтобы быть эквивалентной двойке. «x» представляет карту ниже любой другой указанной карты и не имеет способности или потенциала для взятия взятки. Следующая прогрессия альтернатив позволяет считать всё более высокие карты незначительными для анализа.

Упрощённая постановка

Оптимальная стратегия игры в одной раздаче за столом бриджа варьируется в зависимости от цели разыгрывающего; информированности, мастерства и целей противников; контракта и уязвимости; а также расклада карт в четырёх руках, включающего четыре комбинации мастей и их расположение. В пособиях по бриджу обычно предполагается наличие двух партнёрств с противоположными целями, которые включают условия соревнования (вариант подсчёта и вариант турнира) и контракт с уязвимостью. С точки зрения теории игр игра любой раздачи является игрой с нулевой суммой.

По крайней мере с работ Краухёрста (Crowhurst, 1964) анализ комбинаций мастей обычно включает дополнительные упрощения. Наиболее фундаментально: игра любой комбинации масти — это игра с нулевой суммой. По сути, обе стороны согласны с отношением масти ко всей руке, так что их противоположные общие цели сводятся к противоположным целям в масти. Итоговый результат заключается в том, что их противоположные цели можно выразить через количество выигранных и проигранных взяток в рассматриваемой масти.

Обычно делают два дополнительных шага в соответствии с подходом Краухёрста. Во-первых, комбинация масти — это игра двух лиц с нулевой суммой. Это означает, что оба защитника играют как один; они единомышленники. Они знают карты друг друга и, таким образом, зная болвана, они знают и руку разыгрывающего. (Это называется защитой с открытыми картами.) Один план управляет обоими их ходами. Если они решат рандомизировать свои ходы, они могут делать это вместе.

Во-вторых, игра комбинации масти представляет собой последовательность взяток с ходом всегда от болвана или из закрытой руки по выбору разыгрывающего. По сути, защитники всегда переходят на побочную масть при выигрыше взятки, а разыгрывающий останавливает эти побочные масти, по крайней мере, перед тем как сбросить из рассматриваемой масти. Разыгрывающий может переходить между руками, используя побочные масти; то есть проблем с коммуникацией или управлением входами нет.

Перевёрнуто?

Ещё одно соглашение — размещать большее количество карт у болвана (Север), если комбинация масти состоит из двух неравных наборов. При упрощённой постановке это не имеет значения, кроме редких психологических соображений, говорит Краухёрст. За столом против двух защитников, которые видят открытую руку и не видят закрытую, разница может быть очень важной.

Ограниченный объём обычных целей

Краухёрст обычно рассматривает две альтернативные целевые функции: максимальное ожидаемое количество выигранных взяток или ожидание взяток, и максимальную вероятность выигрыша определённого количества взяток, например трёх для комбинации с четырьмя картами в каждой руке.

Этот набор двух целей ограничен некоторыми практически важными способами, которые могут оказать большое влияние на применение любых выводов к «реальным раздачам». Оказывается, что выводы не просто применимы к козырным контрактам или контрактам без козыря; не применимы в целом к козырной масти или побочной масти в козырном контракте. Суть в том, что количество выигранных взяток в масти слишком просто. Количество проигранных взяток не является избыточным, и последовательность выигранных и проигранных взяток может быть значительной.

Во-первых, рассмотрим данную комбинацию масти в контракте с червами. Если масть распределяется 0=5, то есть нет червей слева и король-десятка-восьмёрка-семёрка-шестёрка справа, то у защиты есть пятая взятка в червах, которой нельзя избежать. (Пятая взятка в масти может никогда не быть сыграна, но пятая карта в козырях — это взятка, если она сыграна на побочной взятке.) В комбинации из четырёх карт, такой как эта, «три взятки» обычно означает «одна проигранная взятка», но это не избыточно, и различие между тремя с одной проигранной и тремя с двумя проигранными может быть жизненно важным для целей обеих сторон в реальной раздаче.

Во-вторых, рассмотрим данную комбинацию масти в контракте с пиками. Три взятки на первых трёх червах и проигрыш на четвёртой взятке — скажем, десятка-восьмёрка-семёрка-шестёрка напротив одного короля, и болван ходит королевой — оставляют открытой возможность не проиграть ни одной взятки в червах, если четвёртую можно сбросить или перебить козырем. Три взятки на первой, третьей и четвёртой червах — скажем, восьмёрка-семёрка напротив короля-десятки-шестёрки, и разыгрывающий ходит тузом — подразумевают проигрыш на второй взятке, который нельзя избежать (или почти никогда). Количество выигранных взяток для разыгрывающей стороны из четырёх карт в масти только приблизительно соответствует целям обеих сторон в реальной раздаче.

Вывод оптимальной игры комбинаций мастей

В рамках упрощённой постановки оптимальная игра разыгрывающего комбинации масти может быть выведена с использованием хорошо зарекомендовавшей себя теории игр, а именно теории игр двух лиц с нулевой суммой. Краухёрст обычно рассматривает две альтернативные целевые функции для каждой комбинации масти в каталоге. Одна — это максимальное ожидаемое количество выигранных взяток или ожидание взяток. Другая — максимальная вероятность выигрыша определённого количества взяток, например трёх для комбинации с четырьмя картами в каждой руке.

Это означает, что указывается целевая функция, которую необходимо максимизировать. Для целей игры в масти эта целевая функция (или цель) обычно принимается как вероятность получения указанного минимального количества взяток.

Учитывая эту цель, все линии игры проверяются против всех возможных защит для каждого распределения карт противников, и целевая функция определяется для каждого из этих случаев. Каждой линии игры в сочетании с каждым распределением карт противников можно присвоить минимальное значение целевой функции, полученное в результате лучшей защиты для этого расклада. Оптимальная линия игры выбирается как линия, которая максимизирует минимальное значение целевой функции, усреднённое по всем возможным раскладам. В результате оптимальное решение комбинации масти учитывает все линии защиты (включая все формы блефа), защищает от лучших линий защиты, но не обязательно оптимально в смысле использования ошибок защиты.

Примеры

Требуется две взятки из следующей комбинации:

Оптимальный подход — ходить малой картой к королеве, финес против короля. Если королева проигрывает королю, ходить малой картой к десятке, второй финес против валета. Это выигрывает две взятки в 74% случаев. Приблизительность легко видна, если рассмотреть четыре возможных расклада короля и валета в руках защитников. Вы выигрываете в трёх из четырёх случаев: оба король и валет у Востока (24% вероятность), только король у Востока (26% вероятность) и ни один у Востока (24% вероятность). В четвёртом случае король у Запада и валет у Востока (26%), вы выигрываете, если валет синглтон (0,5% вероятность).

Предположим, требуется две взятки из следующей комбинации:

Оптимальный подход — снять туза, затем ходить малой картой к валету. Это не срабатывает только против король-королева и минимум трёх из пяти малых карт у Востока. Другими словами, это срабатывает, если Запад держит хотя бы одну фигуру или минимум три малые карты. Общая вероятность успеха составляет 90,0%.

Если требуется три взятки, Лоуренс рекомендует другую линию игры. Снять туза, затем пропустить вторую взятку; то есть ходить малой картой из обеих рук независимо от защиты. Это срабатывает, когда масть распределяется 3-3 между противниками, а также когда она делится 4-2 с одной или обеими фигурами дублетом. (Против обеих фигур дублетом это выигрывает четыре взятки. Против одной фигуры дублетом это проигрывает вторую взятку этой фигуре и третью взятку другой, выигрывая остальные три взятки.) Общая вероятность успеха составляет 64,6%.

Использование ошибок защиты

Оптимальная обработка конкретной комбинации масти гарантирует определённую минимальную вероятность успеха против любой возможной защиты. Однако такая обработка, хотя и защищает от противников, которые могли бы использовать любую ошибку в игре разыгрывающего, сама не использует ошибки защиты. В некоторых практических случаях, когда ошибки защиты вероятны, может быть целесообразно отклониться от оптимальной игры масти, чтобы извлечь выгоду из предполагаемых ошибок защиты.

В этом примере из 5-го издания Официальной энциклопедии бриджа разыгрывающему нужны две взятки из масти, в которой у него три малые карты, а у болвана король-королева-десятка:

Теоретико-игровой оптимальный подход — ходить к королю у болвана, а затем — выиграла ли королева или нет — ходить к королеве.

Опытный защитник, сидящий на Востоке с тузом, но без валета, вероятно, пропустит первый раунд, чтобы защитить валета партнёра. Таким образом, если этот опытный защитник играет туза на первой взятке, он скорее всего держит либо туза синглтон, либо туза и валета, потому что при любой другой комбинации он бы пропустил. В последнем случае единственный шанс разыгрывающего получить две взятки из этой масти — это играть на туза-валета дублетом у Востока. Поскольку вероятность туза-валета дублетом (0,73%) больше, чем вероятность туза синглтон (0,48%), если король проигрывает тузу Востока на первой взятке, оптимальная игра разыгрывающего — играть на падение валета на второй взятке и выложить королеву.

На практике, однако, если на первом раунде король проигрывает тузу Востока, разыгрывающий должен решить, пропустил бы Восток туза на первом раунде, не держа валета. Если Восток оценивается как вероятно играющий туза на первом раунде независимо от наличия валета, разыгрывающий должен финесировать десятку на втором раунде. Обратите внимание, что опытный защитник на Востоке, который намеренно делает эксплуатационную защиту, ловя короля тузом, держа одну или несколько малых карт в масти (но не валета), рассчитывает на то, что разыгрывающий сочтёт его не способным на такой неоптимальный ход.

Улучшенный компьютерный анализ

Хотя оптимальные ходы для комбинаций мастей традиционно выводились вручную, вычислительные возможности современных компьютеров позволили провести более детальный и точный анализ и представление оптимальных линий игры. В отношении словаря комбинаций мастей Рудинеско библиографы Бурк и Сагден отмечают, что он «был вытеснен компьютерными программами, такими как SuitPlay» — программой, разработанной Иеронимом Вармердамом из Нидерландов.

Даже без психологических факторов анализ сложных комбинаций мастей не является простым. Человеческий анализ может привести к упущению определённых возможностей. Предположительно оптимальные подходы к комбинациям мастей были опубликованы в 5-м издании Официальной энциклопедии бриджа, но автоматизированный анализ позже показал, что некоторые из них неправильны, и они были обновлены в более поздних изданиях.

Требуется две взятки из этой комбинации масти. Линия игры, которую 5-е издание Официальной энциклопедии бриджа утверждает, гарантирует 51% успеха: «Ходить малой картой к девятке. Если это проигрывает Западу, финесировать десятку дальше. Если фигура появляется у Востока на первом раунде, ходить малой картой к девятке снова; если Восток показывает нехватку или играет другую фигуру, финесировать десятку дальше; иначе играть к тузу».

Однако, используя компьютеризированные исчерпывающие поиски собственной конструкции, Вармердам обнаружил ход, который, по его словам, приводит к минимум 58% успеха против любой возможной защиты: «Ходить малой картой к девятке. Если это проигрывает Западу, снять туза. Если фигура появляется у Востока на первом раунде, запустить девятку и если она проигрывает, финесировать десятку». 6-е издание Официальной энциклопедии бриджа рекомендует ту же линию игры, что и Вармердам, но указывает вероятность успеха 51%; 7-е издание исправило процент на 58%.

Постановка целей

Хотя может быть мало споров о том, какова теоретико-игровая оптимальная игра масти при данном раскладе и целевой функции, которую необходимо максимизировать, выбор того, что составляет правильную целевую функцию для данной практической ситуации, может быть предметом дебатов. Как правило, спецификация целевой функции зависит от типа подсчёта. В командных матчах с подсчётом МВ цель максимизации очков МВ обычно соответствует цели максимизации вероятности получения определённого количества взяток из рассматриваемой масти (см. примеры выше). При подсчёте по матчпойнтам обычно предполагается, что цель максимизации вашего очка матчпойнта соответствует цели максимизации ожидаемого количества взяток из рассматриваемой масти. Это предположение не всегда верно. Цель разыгрывающего при подсчёте по матчпойнтам скорее состоит в том, чтобы убедиться, что его линия игры превосходит альтернативные подходы с точки зрения получения большего количества взяток на как можно большем количестве раскладов. При применении этой «цели матчпойнта» к линии игры для одной масти возникают оптимальные линии игры, которые могут отличаться от неэксплуатационной линии игры, которая оптимизирует ожидаемое количество взяток из масти. Пример иллюстрирует суть:

Какова лучшая игра по матчпойнтам? Линия игры, которая максимизирует ожидаемое количество взяток из этой масти, — это финесировать, играя к десятке. Если десятка проигрывает валету, вы затем играете к королю. Если десятка проигрывает тузу, вы затем играете королеву. Этот подход приводит к трём взяткам в 28,7% случаев, двум взяткам в 54,4% случаев и одной взятке в 16,9% случаев. Ожидаемое значение количества взяток составляет 2,12 взятки.

Однако эта игра не оптимальна в смысле оптимизации описанной выше цели матчпойнта. Рассмотрим линию игры, которая начинается с глубокого финеса, играя к восьмёрке. Если восьмёрка проигрывает девятке, затем играйте к королю. Если восьмёрка проигрывает валету, затем запустите десятку. Если восьмёрка проигрывает тузу, запустите королеву, а затем финесируйте над валетом. Эта игра приводит к 2,09 ожидаемым взяткам, результат немного меньше, чем указанные выше 2,12 взятки, полученные при игре к десятке. Однако игра, которая приводит к 2,09 взяткам в среднем, превосходит игру, приводящую к среднему 2,12 взяткам, с точки зрения цели матчпойнта.

Это видно, если рассмотреть расклады, на которых линия игры, начинающаяся с глубокого финеса, берёт больше взяток, чем линия игры, начинающаяся с финеса, и наоборот: следует, что глубокий финес превосходит финес в 22,95% случаев, в то время как финес превосходит глубокий финес только в 18,33% случаев. В остальных случаях (58,72%) обе линии игры приводят к одному и тому же количеству взяток.

Смешанные стратегии

Дополнительные осложнения могут возникнуть, так как в некоторых случаях ни одна единственная детерминированная стратегия не приводит к оптимальному результату. Хорошо известный результат теории игр гласит, что в таких случаях должна существовать оптимальная смешанная стратегия. Небольшое изменение расклада последнего примера иллюстрирует это:

Какова лучшая игра по матчпойнтам для этой масти? Линия игры, которая максимизирует ожидаемое количество взяток, — это финесировать, играя к десятке. Если десятка проигрывает валету, вы затем играете к королю. Если десятка проигрывает тузу, вы затем играете королеву.

Опять же, эта игра не оптимальна с точки зрения цели матчпойнта, так как её превосходит следующая линия игры: возьмите глубокий финес, играя к восьмёрке. Если восьмёрка проигрывает девятке, затем играйте десятку и финесируйте валета. Если восьмёрка проигрывает валету, затем запустите десятку. Если восьмёрка проигрывает тузу, запустите королеву, а затем финесируйте над валетом. Аналогичный анализ, как в предыдущем примере, показывает, что линия игры, начинающаяся с глубокого финеса, в 31,43% случаев приводит к большему количеству взяток, чем линия игры, начинающаяся с финеса. Обратный результат имеет место только в 23,18% случаев.

Вышеупомянутая линия игры, начинающаяся с глубокого финеса, также не оптимизирует цель матчпойнта, так как её превосходит другая линия игры. Оказывается, что существует всего восемь линий игры, которые нетранзитивны: восемь линий игры можно представить расположенными на круге так, чтобы каждая линия игры превосходила своего левого соседа. В результате оптимальный подход в контексте цели матчпойнта соответствует так называемой смешанной стратегии и носит вероятностный характер: разыгрывающий должен случайным образом выбрать одну из восьми линий игры.