Вероятности в бридже: математика и стратегия

Вероятности в бридже — это математическая основа успешной игры, которая помогает разыгрывающему и защитникам принимать оптимальные решения. Знание теории вероятностей позволяет оценивать распределение карт у противников и выбирать стратегии с наибольшей вероятностью успеха. В этой статье мы разберём ключевые вероятностные таблицы и их практическое применение в бридже.

Математические вероятности в игре бридж

В игре бридж математические вероятности играют значительную роль. Различные стратегии розыгрыша приводят к успеху в зависимости от распределения карт у противников. Чтобы определить, какая стратегия имеет наибольшую вероятность успеха, разыгрывающий должен обладать хотя бы элементарными знаниями теории вероятностей.

Приведённые ниже таблицы показывают различные априорные вероятности, то есть вероятности при отсутствии какой-либо дополнительной информации. Во время торговли и розыгрыша становится известна дополнительная информация о раскладах, что позволяет игрокам уточнить свои вероятностные оценки.

Вероятность распределения мастей в двух скрытых руках

Эта таблица показывает различные способы распределения двух-восьми конкретных карт между двумя неизвестными 13-картными руками (до торговли и розыгрыша, априорно).

Таблица также показывает количество комбинаций конкретных карт, соответствующих каждому числовому распределению, и вероятности для каждой комбинации.

Эти вероятности вытекают непосредственно из закона Вакантных Мест.

Расчёт вероятностей

Вероятности рассчитываются на основе комбинаторных формул, учитывающих количество неизвестных карт у каждого из противников и требуемое распределение карт конкретной масти между ними.

Если направление распределения не важно (требуется только, чтобы распределение было определённого типа, а не чтобы конкретный противник держал конкретное количество карт), то используется соответствующая формула с поправкой на симметрию.

Более общая формула позволяет рассчитать вероятность распределения масти, если известно, что игрок держит карты другой масти. Например, если из торговли известно, что Восток держит 7 пик, а из раскладки видно, что Запад держит 2 пики, то при выборе между надеждой на распределение бубён 5-3 или треф 4-2, априорные вероятности составляют 47% и 48% соответственно, но с учётом известной информации вероятности меняются, и линия с трефами становится значительно более перспективной.

Вероятность распределения очков чести

Очки чести обычно считаются по шкале Милтона Ворка: 4/3/2/1 очко за каждый Туз/Король/Даму/Валета соответственно. В таблице ниже приведены априорные вероятности того, что рука содержит не более определённого количества очков чести. Для определения вероятности попадания в определённый диапазон нужно вычесть две соответствующие кумулятивные вероятности. Например, вероятность получить руку с 12-19 очками чести равна вероятности иметь не более 19 очков минус вероятность иметь не более 11 очков.

Вероятности распределений рук

Распределение руки обозначает разделение тринадцати карт руки по четырём мастям. Всего возможно 39 различных распределений, но только 13 из них имеют априорную вероятность, превышающую 1%. Наиболее вероятное распределение — это 4-4-3-2, состоящее из двух четырёхкартных мастей, одной трёхкартной масти и одного дублета.

Следует отметить, что распределение руки не указывает, какие конкретно масти содержат указанные длины. Для распределения 4-4-3-2 нужно указать, какая масть содержит три карты, а какая — две, чтобы определить длину в каждой из четырёх мастей. Существует четыре способа выбрать трёхкартную масть и три способа выбрать дублет. Таким образом, количество вариантов распределения 4-4-3-2 по мастям составляет двенадцать.

Приведённая ниже таблица перечисляет все 39 возможных распределений, их вероятность возникновения и количество вариантов для каждого распределения. Список упорядочен по вероятности возникновения.

39 распределений можно классифицировать на четыре типа рук: сбалансированные руки, однолистники, двулистники и трёхлистники. Таблица ниже показывает априорные вероятности получить руку определённого типа.

Альтернативная группировка 39 распределений может быть произведена либо по самой длинной масти, либо по самой короткой масти. Приведённые ниже таблицы показывают априорную вероятность получить руку с самой длинной или самой короткой мастью определённой длины.

Количество возможных рук и раскладок

Существует 635 013 559 600 различных рук, которые может держать один игрок. Кроме того, если учитывать оставшиеся 39 карт со всеми их комбинациями, то возможно примерно 53,6 × 10²⁴ различных раскладок. Огромность этого числа можно понять, ответив на вопрос: «Какую площадь нужно занять, чтобы разложить все возможные раскладки бриджа, если каждая раскладка займёт только один квадратный миллиметр?» Ответ: площадь, превышающую поверхность Земли более чем в сто миллионов раз.

Очевидно, что раскладки, идентичные за исключением перестановки, скажем, двойки и тройки одной масти, вряд ли дадут разный результат. Чтобы подчеркнуть незначительность малых карт, в бридже такие карты обычно обозначаются как ‘x’. Таким образом, «количество возможных раскладок» в этом смысле зависит от того, сколько младших карт (2, 3, …, 9) считаются «неразличимыми». Например, если обозначение ‘x’ применяется ко всем картам младше десятки, то распределения считаются идентичными.

Приведённая ниже таблица показывает количество раскладок при различных предположениях о неразличимости младших карт.

Последняя запись в таблице соответствует количеству различных распределений колоды (количество раскладок, когда карты различаются только по мастям).

Вероятности при подсчёте проигрышных взяток

Подсчёт проигрышных взяток является альтернативой подсчёту очков чести как методу оценки руки.

Основные вероятности в бридже и их применение