Нетранзитивные кости — это математический парадокс, который нарушает привычную логику вероятностей. В таком наборе костей первая выигрывает у второй, вторая у третьей, но третья неожиданно выигрывает у первой. Это явление используется в теории игр и создаёт удивительные стратегические преимущества.
Нетранзитивные кости — это набор костей, где отношение «выше» не подчиняется правилу транзитивности: кость A выигрывает у B, B у C, но C выигрывает у A. Такие кости используются в играх для создания неожиданных преимуществ и математических парадоксов.
Определение
Набор костей называется нетранзитивным (или нетранзитивным), если он содержит более двух костей с особым свойством: первая кость выпадает выше второй более чем в половине случаев, вторая выпадает выше третьей более чем в половине случаев, и так далее, но первая кость не выпадает выше последней более чем в половине случаев. Иными словами, бинарное отношение «кость X выпадает выше кости Y более чем в половине случаев» не является транзитивным.
Возможно найти наборы костей с ещё более сильным свойством: для каждой кости в наборе существует другая кость, которая выпадает выше неё более чем в половине случаев. Такие наборы позволяют создавать игры, смещённые в неожиданных для непосвящённых людей направлениях.
Пример
Рассмотрим следующий набор костей:
- Кость A: грани 2, 2, 4, 4, 9, 9
- Кость B: грани 1, 1, 6, 6, 8, 8
- Кость C: грани 3, 3, 5, 5, 7, 7
Вероятность того, что A выпадет выше B, B выше C и C выше A, составляет 5/9 для каждой пары. Таким образом, этот набор является нетранзитивным.
Рассмотрим игру с этим набором:
1. Первый игрок выбирает кость
2. Второй игрок выбирает одну из оставшихся костей
3. Оба бросают свои кости; выигрывает тот, кто выбросит большее число
При использовании обычного (транзитивного) набора костей игра справедлива или смещена в пользу первого игрока. Однако с описанным выше набором игра всегда смещена в пользу второго игрока, так как он может всегда выбрать кость, которая выиграет с вероятностью 5/9.
Если использовать взвешенные кости, можно достичь ещё большей вероятности — примерно 0,618 (одна разделённая на золотое сечение).
Вариации
Кости Эфрона
Кости Эфрона (Efron’s dice) — набор из четырёх нетранзитивных костей, изобретённый Брэдли Эфроном (Bradley Efron).
Четыре кости A, B, C, D имеют следующие числа на шести гранях:
- A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
- B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
- C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
- D: 5, 5, 5, 1, 1, 1
Каждая кость побеждается предыдущей костью (с циклическим переходом) с вероятностью 2/3. C побеждает A с вероятностью 5/9.
Кости Мивина
Кости Мивина (Miwin’s dice) — набор нетранзитивных костей, изобретённый в 1975 году физиком Михаэлем Винкельманном (Michael Winkelmann). Они состоят из трёх различных костей с числами от одного до девяти на гранях; противоположные грани суммируются в 9, 10 или 11.
Эти кости позволяют генерировать случайные числа в заданном диапазоне с равной вероятностью для каждого числа.
Для набора из трёх костей III, IV и V:
- Кость III: грани 1, 2, 5, 6, 7, 9
- Кость IV: грани 1, 3, 4, 5, 8, 9
- Кость V: грани 2, 3, 4, 6, 7, 8
Вероятность того, что III выпадет выше IV, составляет 17/36; IV выше V — 17/36; V выше III — 17/36.
Кости Мивина имеют несколько наборов с различными свойствами. Первый и второй наборы характеризуются тем, что каждое число от одного до девяти встречается ровно дважды на трёх костях, а сумма всех чисел на каждой кости равна 30.
Игры с костями Мивина
С середины 1980-х годов в прессе писали об играх с костями Мивина. В 1987 году в Вене на фестивале «Österrechischen Spielefest» игра получила приз «Лучшая независимая игра с костями года».
В 1994 году венское издательство Arquus опубликовало книгу Винкельманна «Göttliche Spiele» (Божественные игры), содержащую 92 игры и документацию о математических свойствах костей.
Разработаны игры для одного игрока и для до девяти игроков. Игры подходят для игроков старше шести лет, время игры варьируется от 5 до 60 минут.
Нетранзитивные кости для более чем двух игроков
Три игрока
Кости Оскара
Оскар ван Девентер (Oskar van Deventer) представил набор из семи костей:
- A: 2, 02, 14, 14, 17, 17
- B: 7, 07, 10, 10, 16, 16
- C: 5, 05, 13, 13, 15, 15
- D: 3, 03, 09, 09, 21, 21
- E: 1, 01, 12, 12, 20, 20
- F: 6, 06, 08, 08, 19, 19
- G: 4, 04, 11, 11, 18, 18
Для любой пары выбранных костей существует третья кость, которая побеждает обе. Это означает, что третий игрок всегда может найти кость, которая выиграет против двух костей противников.
Кости Гримма
Доктор Джеймс Гримм (James Grime) открыл набор из пяти костей:
- A: 2, 2, 2, 7, 7, 7 (красная)
- B: 1, 1, 6, 6, 6, 6 (синяя)
- C: 0, 5, 5, 5, 5, 5 (зелёная)
- D: 4, 4, 4, 4, 4, 9 (жёлтая)
- E: 3, 3, 3, 3, 8, 8 (пурпурная)
При игре с одним набором костей Гримма образуются две цепочки побед. При игре с двумя наборами первая цепочка остаётся той же (кроме одного изменения), а вторая цепочка переворачивается. Таким образом, третий игрок всегда может найти кость, которая побеждает обе кости противников.
Четыре игрока
Доказано, что для четырёх игроков требуется минимум 19 костей. В июле 2024 года пользователь GitHub NGeorgescu опубликовал набор из 23 одиннадцатигранных костей, решающих задачу нетранзитивных костей для четырёх игроков.
Кости Джорджеску
В 2024 году американский учёный Николас Джорджеску (Nicholas S. Georgescu) открыл набор из 23 костей, решающих задачу для четырёх игроков.
Кости Ли
Юхуа Ли (Youhua Li) разработал набор из 19 костей с 171 гранью каждая, решающий задачу для четырёх игроков. Эта система расширяется на любое количество костей.
Нетранзитивные двенадцатигранные кости
Аналогично нетранзитивным шестигранным костям существуют додекаэдры, служащие нетранзитивными двенадцатигранными костями. Сумма точек на каждом додекаэдре равна 114, и на каждом нет повторяющихся чисел.
Додекаэдры Мивина (набор 1) побеждают друг друга циклически в соотношении 35:34.
Додекаэдры Мивина (набор 2) побеждают друг друга циклически в соотношении 71:67.
Нетранзитивные двенадцатигранные кости с простыми числами
Возможно построить наборы нетранзитивных додекаэдров, на которых размещены только простые числа без повторений. Додекаэдры Мивина с простыми числами побеждают друг друга циклически в соотношении 35:34.
Обобщённые нетранзитивные кости Муньоса-Переры
Возможно обобщение наборов нетранзитивных костей с N гранями. Для N ≥ 3 можно определить набор костей как случайные величины, принимающие значения из множества с равной вероятностью 1/J для каждого значения.
Для получения набора нетранзитивных костей достаточно установить значения граней по определённой формуле, которая гарантирует, что каждая кость побеждает определённое количество других костей в наборе.
Примеры
3 грани
Полученный набор костей эквивалентен первому примеру на этой странице, но без повторяющихся граней. Можно проверить, что D₃ > D₂, D₂ > D₁ и D₁ > D₃.
4 грани
Можно проверить, что D₄ > D₃, D₃ > D₂, D₂ > D₁ и D₁ > D₄.
6 граней
Можно проверить, что D₆ > D₅, D₅ > D₄, D₄ > D₃, D₃ > D₂, D₂ > D₁ и D₁ > D₆. Кроме того, каждая кость побеждает две следующие в цепочке.
🔑 Ключевые факты
- Нетранзитивные кости нарушают логику транзитивности: A > B, B > C, но C > A
- Кости Эфрона — набор из 4 костей, где каждая побеждается предыдущей с вероятностью 2/3
- Кости Мивина изобретены в 1975 году и позволяют генерировать случайные числа с равной вероятностью
- Второй игрок всегда имеет преимущество 5/9 при выборе кости после первого игрока
- Для четырёх игроков требуется минимум 19 костей (набор Ли из 2024 года)
- Существуют нетранзитивные двенадцатигранные кости (додекаэдры) с циклическим соотношением побед
- Кости Гримма образуют две цепочки побед, позволяя третьему игроку всегда выиграть
Как работают нетранзитивные кости
❓ Часто задаваемые вопросы
💡 Интересные факты
- Нетранзитивные кости демонстрируют математический парадокс, где нет абсолютно лучшей кости — каждая может быть побеждена другой, создавая бесконечный цикл
- Кости Мивина получили приз «Лучшая независимая игра с костями года» на венском фестивале в 1987 году
- Для четырёх игроков существует набор из 23 одиннадцатигранных костей, решающий задачу нетранзитивности (открыт в 2024 году)