Кости Сичермана: математическое чудо

Пара нестандартных шестигранных костей

Кости Сичермана (Sicherman dice) — это пара шестигранных костей с нестандартной нумерацией: на одной костях числа 1, 2, 2, 3, 3, 4, а на другой — 1, 3, 4, 5, 6, 8. Они примечательны тем, что являются единственной парой шестигранных костей, которые не являются обычными костями, содержат только положительные целые числа и имеют такое же распределение вероятностей суммы, как обычные кости. Изобретены в 1978 году Джорджем Сичерманом (George Sicherman) из Буффало, Нью-Йорк.

Математика

Классическое упражнение в элементарной комбинаторике — подсчитать количество способов выпадения любого значения при бросании пары честных шестигранных костей (путём суммирования результатов двух бросков).

Сумасшедшие кости — это математическое упражнение в элементарной комбинаторике, заключающееся в переобозначении граней пары шестигранных костей так, чтобы воспроизвести ту же частоту сумм, что и при стандартной нумерации. Кости Сичермана — это сумасшедшие кости, переобозначенные только положительными целыми числами. (Если целые числа не обязательно должны быть положительными, то для получения одного и того же распределения вероятностей можно уменьшить числа на каждой грани одной кости на k и увеличить числа на другой кости на k для любого натурального числа k, что даёт бесконечное множество решений.)

В таблице ниже перечислены все возможные суммы при бросании обычных костей и костей Сичермана. Одна кость Сичермана выделена цветом для наглядности: 1–2–2–3–3–4, другая чёрная: 1–3–4–5–6–8.

Другие свойства, кроме суммы, не обязательно совпадают с обычными костями. Например, вероятность выпадения дубля составляет 1/6 для обычных костей (1+1, 2+2, 3+3, 4+4, 5+5 и 6+6 из 36 возможных комбинаций), но 1/9 для костей Сичермана (1+1, 3+3, 3+3 и 4+4).

История

Кости Сичермана были открыты Джорджем Сичерманом из Буффало, Нью-Йорк и впервые описаны Мартином Гарднером (Martin Gardner) в статье в журнале Scientific American в 1978 году.

Числа можно расположить так, чтобы все пары чисел на противоположных сторонах суммировались в одинаковые значения: 5 для первой кости и 9 для второй.

Позже в письме к Сичерману Гарднер упомянул, что один известный ему фокусник предвосхитил открытие Сичермана. Обобщения костей Сичермана на более чем две кости и некубические кости рассмотрены в работах Бролина (1979), Галлиана и Рузина (1979), Брансона и Свифта (1997/1998) и Фаулера и Свифта (1999).

Математическое обоснование

Назовём каноническую n-гранную кость n-гранником, грани которого помечены целыми числами так, чтобы вероятность выпадения каждого числа составляла 1/n. Рассмотрим каноническую кубическую (шестигранную) кость. Производящая функция для бросков такой кости имеет вид x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶. Произведение этого многочлена на себя даёт производящую функцию для бросков пары костей: x²+2x³+3x⁴+4x⁵+5x⁶+6x⁷+5x⁸+4x⁹+3x¹⁰+2x¹¹+x¹².

Этот многочлен можно проанализировать, используя либо циклотомические многочлены, либо элементарное разложение на множители.

**Вариант 1: циклотомические многочлены**

Известно, что:

• xⁿ−1 = ∏Φ_d(x), где d пробегает делители n, а Φ_d(x) — d-й циклотомический многочлен
• (xⁿ−1)/(x−1) = 1+x+⋯+xⁿ⁻¹

Таким образом, производящая функция для одной n-гранной канонической кости имеет вид:

x+x²+⋯+xⁿ = (x/(x−1))∏Φ_d(x)

Так как Φ₁(x) = x−1 сокращается, разложение производящей функции для шестигранной канонической кости имеет вид:

xΦ₂(x)Φ₃(x)Φ₆(x) = x(x+1)(x²+x+1)(x²−x+1)

**Вариант 2: элементарное разложение**

x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶ = x(x⁶−1)/(x−1)

x⁶−1 = (x³)²−1 = (x³−1)(x³+1) = (x−1)(x²+x+1)(x+1)(x²−x+1)

Таким образом:

x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶ = x(x+1)(x²−x+1)(x²+x+1)

Производящая функция для двух костей — это произведение двух копий каждого из этих множителей: (x(x+1)(x²−x+1)(x²+x+1))². Как мы можем разбить их, чтобы получить две законные кости, грани которых пронумерованы нестандартно? Под «законными» понимаются кости, у которых коэффициенты неотрицательны и в сумме дают шесть, так что каждая кость имеет шесть граней и каждая грань имеет хотя бы одну точку. То есть производящая функция каждой кости должна быть многочленом p(x) со всеми положительными показателями степени и без свободного члена (представляющими значения на гранях), с положительными коэффициентами (представляющими количество граней с каждым значением), которые в сумме дают 6. Таким образом, p(0) = 0 и p(1) = 6.

Подставляя x = 1 в множители (для суммирования коэффициентов), получаем: x+1 = 2, x²+x+1 = 3 и x²−x+1 = 1. Чтобы оба произведения множителей равнялись 6, каждый множитель x+1 = 2 должен быть спарен с x²+x+1 = 3. Оставшаяся пара членов (оба x²−x+1) должна либо быть разделена (что даёт симметричное решение, представляющее обычные кости), либо объединена (представляющую кости Сичермана):

x(x+1)(x²+x+1) = x+2x²+2x³+x⁴

и

x(x+1)(x²+x+1)(x²−x+1)² = x+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁸

Это даёт нам распределение точек на гранях пары костей Сичермана: {1,2,2,3,3,4} и {1,3,4,5,6,8}, как указано выше.

Этот метод можно расширить на кости с произвольным числом граней.