Голландская книга: теория и примеры — Gamblipedia

В теории решений, экономике и теории вероятностей аргументы голландской книги — это набор результатов, показывающих, что агенты должны удовлетворять аксиомам рационального выбора, чтобы избежать самопротиворечия, называемого голландской книгой. Голландская книга, иногда также называемая денежным насосом, — это набор ставок, который гарантирует убыток, то есть игрок потеряет деньги независимо от того, что произойдёт. Набор ставок называется согласованным, если он не может привести к голландской книге.

Аргументы голландской книги используются для изучения степеней уверенности в убеждениях и демонстрации того, что рациональные букмекеры должны быть байесовцами; другими словами, рациональный букмекер должен назначать вероятности событий в соответствии с аксиомами вероятности и должен иметь предпочтения, которые можно моделировать с помощью аксиом фон Неймана–Моргенштерна.

В экономике они используются для моделирования поведения путём исключения ситуаций, когда агенты «сжигают деньги» без реальной выгоды. Модели, основанные на предположении о рациональности акторов, называются моделями рационального выбора. Это предположение ослабляется в поведенческих моделях принятия решений.

Мысленный эксперимент впервые предложили итальянский вероятностник Бруно де Финетти (Bruno de Finetti) и английский учёный Фрэнк Рамсей (Frank P. Ramsey), по-видимому, независимо друг от друга, чтобы обосновать байесовскую вероятность. Более тщательно его исследовал Леонард Сэвидж (Leonard Savage), который развил его в полную модель рационального выбора.

Операциональные субъективные вероятности как коэффициенты ставок

Предположим, у нас есть два игрока — A и B. Игрок A должен установить цену обещания выплатить $1, если Джон Смит выиграет завтрашние выборы. Игрок B сможет выбрать либо купить это обещание у A по установленной цене, либо потребовать, чтобы A купил это обещание по той же цене. Другими словами: игрок A устанавливает коэффициенты, но игрок B решает, на какую сторону ставки встать. Цена, установленная A, называется «операциональной субъективной вероятностью».

Если игрок A считает, что Джон Смит имеет 12,5% шансов на победу, он может установить коэффициент 7:1 против. Эта произвольная оценка — «операциональная субъективная вероятность» — определяет выплату успешной ставки. $1, поставленный при таких коэффициентах, принесёт либо убыток $1 (если Смит проиграет), либо выигрыш $7 (если Смит выиграет). В этом примере $1 также возвращается игроку в случае успеха.

Аргументы

Стандартный аргумент голландской книги заключает, что рациональные агенты должны иметь субъективные вероятности для случайных событий, и эти вероятности должны удовлетворять стандартным аксиомам вероятности. Другими словами, любой рациональный человек должен быть готов назначить (количественную) субъективную вероятность различным событиям.

Заметим, что аргумент не подразумевает, что агенты готовы участвовать в азартных играх в традиционном смысле. Слово «ставка» здесь относится к любому виду решения в условиях неопределённости. Например, покупка незнакомого товара в супермаркете — это вид «ставки» (покупатель «ставит» на то, что товар хороший), как и вождение автомобиля («ставка» на то, что водитель не попадёт в аварию).

Установление готовности делать ставки

Аргумент голландской книги можно перевернуть, рассмотрев перспективу букмекера. В этом случае аргументы голландской книги показывают, что любой рациональный агент должен быть готов принять некоторые виды рисков, то есть делать неопределённые ставки, иначе он иногда будет отказываться от «бесплатных подарков» или «чешских книг» — серии ставок, которые оставляют его в лучшем положении со 100% уверенностью.

Унитарность

В одном примере букмекер предложил следующие коэффициенты и привлёк по одной ставке на каждую лошадь, размеры которых делают результат неважным. Подразумеваемые вероятности, то есть вероятность победы каждой лошади, в сумме дают число больше 1, нарушая аксиому унитарности:

Независимо от того, какая лошадь выиграет в этом примере, букмекер выплатит $200 (включая возврат выигрышной ставки) — но игрок поставил $210, таким образом, потеряв $10 на гонке.

Однако если лошадь 4 была снята, и букмекер не изменил другие коэффициенты, подразумеваемые вероятности в сумме составили бы 0,95. В этом случае игрок всегда мог бы получить прибыль $10, поставив $100, $50 и $40 соответственно на оставшихся трёх лошадей и не поставив $20 на снятую лошадь, которая теперь не может выиграть.

Другие аксиомы

Другие формы голландских книг можно использовать для установления других аксиом вероятности, иногда включая более сложные ставки, такие как прогнозирование порядка финиша лошадей. В байесовской вероятности Фрэнк Рамсей и Бруно де Финетти требовали, чтобы личные степени убеждения были согласованными, так чтобы против них нельзя было составить голландскую книгу, независимо от того, как делались ставки. Необходимые и достаточные условия для этого состоят в том, что их степени убеждения удовлетворяют всем аксиомам вероятности.

Голландские книги

Человек, который установил цены на набор ставок таким образом, что получит чистый выигрыш независимо от исхода, считается составившим голландскую книгу. Когда у кого-то есть голландская книга, его противник всегда проигрывает. Человек, который устанавливает цены таким образом, что даёт своему противнику голландскую книгу, ведёт себя нерационально.

Очень тривиальная голландская книга

Правила не запрещают устанавливать цену выше $1, но благоразумный противник может продать вам дорогой билет таким образом, что противник выйдет вперёд независимо от исхода события, на которое делается ставка. Правила также не запрещают отрицательную цену, но противник может извлечь из игрока обещание платежа ему позже, если произойдёт определённое событие. В любом случае устанавливающий цену проигрывает. Эти проигрышные ситуации параллельны тому факту, что вероятность не может ни превышать 1 (достоверность), ни быть меньше 0 (нет шанса выиграть).

Более поучительная голландская книга

Теперь предположим, вы устанавливаете цену обещания выплатить $1, если «Бостон Ред Сокс» выиграют мировую серию в следующем году, а также цену обещания выплатить $1, если «Нью-Йорк Янкиз» выиграют, и, наконец, цену обещания выплатить $1, если выиграет либо «Ред Сокс», либо «Янкиз». Вы можете установить цены таким образом, что

Цена(Ред Сокс) + Цена(Янкиз) ≠ Цена(Ред Сокс или Янкиз).

Но если вы установите цену третьего билета ниже суммы первых двух, благоразумный противник купит этот билет и продаст вам два других. Рассмотрев три возможных исхода (Ред Сокс, Янкиз, какая-то другая команда), вы заметите, что независимо от того, какой из трёх исходов произойдёт, вы проиграете. Аналогичная судьба ждёт вас, если вы установите цену третьего билета выше суммы двух других цен. Это параллельно тому факту, что вероятности взаимно исключающих событий аддитивны.

Условные ставки и условные вероятности

Теперь представьте более сложный сценарий. Вы должны установить цены трёх обещаний:

• выплатить $1, если «Ред Сокс» выиграют завтрашнюю игру: покупатель этого обещания теряет свою ставку, если «Ред Сокс» не выиграют, независимо от того, произойдёт ли это из-за их поражения в завершённой игре или отмены игры;
• выплатить $1, если «Ред Сокс» выиграют, и вернуть цену обещания, если игра отменена;
• выплатить $1, если игра будет завершена, независимо от того, кто выиграет.

Возможны три исхода: игра отменена; игра сыграна и «Ред Сокс» проиграли; игра сыграна и «Ред Сокс» выиграли. Вы можете установить цены таким образом, что

Цена(завершённая игра) × Цена(Ред Сокс выиграют | завершённая игра) ≠ Цена(Ред Сокс выиграют и завершённая игра)

(где вторая цена выше — это цена ставки, которая включает возврат в случае отмены). Благоразумный противник составляет три линейных неравенства с тремя переменными. Переменные — это суммы, которые они инвестируют в каждое из трёх обещаний; значение одной из них отрицательно, если они заставят устанавливающего цену купить это обещание, и положительно, если они его купят. Каждое неравенство соответствует одному из трёх возможных исходов. Каждое неравенство утверждает, что чистый выигрыш вашего противника больше нуля. Решение существует, если определитель матрицы не равен нулю. Этот определитель равен:

Цена(завершённая игра) × Цена(Ред Сокс выиграют | завершённая игра) − Цена(Ред Сокс выиграют и завершённая игра).

Таким образом, благоразумный противник может сделать устанавливающего цену гарантированным проигравшим, если вы не установите свои цены таким образом, который соответствует простейшей обычной характеристике условной вероятности.

Другой пример

В забеге Кентуккийского дерби 2015 года фаворит («American Pharaoh») был установлен в коэффициент 5:2, второй фаворит в 3:1, а третий фаворит в 8:1. Все остальные лошади имели коэффициенты 12:1 или выше. При таких коэффициентах ставка $10 на каждого из всех 18 участников привела бы к чистому убытку, если бы выиграл либо фаворит, либо второй фаворит.

Однако если предположить, что ни одна лошадь с коэффициентом 12:1 или выше не выиграет, и вы поставите $10 на каждого из трёх лучших, вам гарантирован хотя бы небольшой выигрыш. Фаворит (который действительно выиграл) принёс бы выплату $25 плюс возвращённая ставка $10, что даёт финальный баланс $35 (чистый прирост $5). Победа второго фаворита дала бы выплату $30 плюс первоначальная ставка $10, для чистого прироста $10. Победа третьего фаворита даёт $80 плюс первоначальные $10, для чистого прироста $60.

Такая стратегия, поскольку она касается только трёх лучших, образует голландскую книгу. Однако если рассмотреть всех восемнадцать участников, то для этой гонки голландской книги не существует.

Экономика

В экономике классический пример ситуации, в которой потребитель может быть обложен голландской книгой, — это наличие нетранзитивных предпочтений. Классическая экономическая теория предполагает, что предпочтения транзитивны: если кто-то считает, что A лучше B, а B лучше C, то он должен считать, что A лучше C. Кроме того, не может быть никаких «циклов» предпочтений.

Аргумент денежного насоса отмечает, что если кто-то придерживается набора нетранзитивных предпочтений, его можно эксплуатировать (откачивать) на деньги, пока он не будет вынужден покинуть рынок. Представьте, что Джейн имеет $20 для покупки фруктов. Она может наполнить свою корзину либо апельсинами, либо яблоками. Джейн предпочла бы иметь доллар, чем яблоко, яблоко, чем апельсин, и апельсин, чем доллар. Поскольку Джейн предпочла бы иметь апельсин, чем доллар, она готова купить апельсин чуть более чем за доллар (скажем, за $1,10). Затем она обменивает свой апельсин на яблоко, потому что предпочла бы иметь яблоко, чем апельсин. Наконец, она продаёт своё яблоко за доллар, потому что предпочла бы иметь доллар, чем яблоко. На этом этапе у Джейн остаётся $19,90, она потеряла 10¢ и ничего не получила взамен. Этот процесс можно повторять, пока у Джейн не закончатся деньги. (Заметим, что если Джейн действительно придерживается этих предпочтений, она не увидит ничего плохого в этом процессе; на каждом этапе Джейн согласна, что она оказалась в лучшем положении.) После того как деньги закончатся, Джейн должна покинуть рынок, и её предпочтения и действия перестают быть экономически значимыми.

Эксперименты в поведенческой экономике показывают, что испытуемые могут нарушать требование транзитивности предпочтений при сравнении ставок. Однако большинство испытуемых не делают эти выборы при внутригрупповых сравнениях, где противоречие явно видно (другими словами, испытуемые не придерживаются подлинно нетранзитивных предпочтений, а вместо этого делают ошибки при выборе, используя эвристики).

Экономисты обычно утверждают, что люди с предпочтениями, подобными предпочтениям Джейн, потеряют всё своё богатство на рынке. Если это так, мы не будем наблюдать предпочтения с нетранзитивностями или другими особенностями, которые позволяют людям быть обложенными голландской книгой. Однако если люди в некоторой степени осведомлены о своих нетранзитивностях и/или если конкуренция арбитражёров приводит эпсилон к нулю, нестандартные предпочтения могут всё ещё наблюдаться.

Согласованность

Можно показать, что набор цен согласован, когда они удовлетворяют аксиомам вероятности и связанным результатам, таким как принцип включения–исключения.

Философия

Аргументы голландской книги можно применить к мысленным экспериментам в теории вероятностей, таким как проблема спящей красавицы. Философы, такие как Кристофер Хичкок (Christopher Hitchcock), утверждали, что Спящая красавица подвержена голландским книгам, если она назначает степень уверенности 1/2. Утверждалось, что сторонники половинного ответа могут избежать голландских книг, приняв теорию решений, основанную на свидетельствах. Однако Винсент Конитцер (Vincent Conitzer) утверждает, что сторонники половинного ответа всё ещё подвержены голландским книгам даже после принятия теории решений, основанной на свидетельствах.