Форвардная цена: формула и расчет

Согласованная цена актива, которую покупатель и продавец договорились обменять в будущем

Форвардная цена (иногда называемая форвардным курсом) — это согласованная цена актива в форвардном контракте. Исходя из предположения о рациональном ценообразовании, для форвардного контракта на торгуемый актив форвардная цена может быть выражена через спотовую цену и дивиденды. Для форвардов на нетторгуемые активы расчет форвардной цены может быть сложной задачей.

Формула форвардной цены

Если базовый актив торгуется и выплачиваются дивиденды, форвардная цена определяется по формуле:

F = S₀e^((r−q)T) − ∑(i=1 to N) Dᵢe^((r−q)(T−tᵢ))

где:

• F — форвардная цена, которая будет выплачена в момент времени T
• e^x — экспоненциальная функция (используется для расчета непрерывно начисляемых процентов)
• r — безрисковая процентная ставка
• q — удобство владения активом (convenience yield)
• S₀ — спотовая цена актива (цена в момент времени 0)
• Dᵢ — дивиденд, выплачиваемый в момент времени tᵢ, где 0 < tᵢ < T

Доказательство формулы форвардной цены

Здесь возникают два вопроса: какую цену должна предложить короткая позиция (продавец актива), чтобы максимизировать прибыль, и какую цену должна принять длинная позиция (покупатель актива), чтобы максимизировать свою прибыль?

Как минимум обе стороны не хотят потерять деньги на сделке.

Короткая позиция знает столько же, сколько длинная позиция: обе стороны осведомлены о любых схемах, которые они могли бы использовать для получения прибыли при определенной форвардной цене.

Поэтому они должны договориться о справедливой цене, иначе сделка не состоится.

С экономической точки зрения это можно выразить так:

(справедливая цена + будущая стоимость дивидендов актива) − спотовая цена актива = стоимость капитала

форвардная цена = спотовая цена − стоимость владения

Будущая стоимость дивидендов актива (это могут быть купоны облигаций, ежемесячная арендная плата за дом, урожай с поля и т. д.) рассчитывается с использованием безрисковой ставки. Это объясняется тем, что мы находимся в безрисковой ситуации (вся суть форвардного контракта — избежать риска или хотя бы его снизить), поэтому владелец актива не будет рисковать. Он реинвестирует по безрисковой ставке (например, в казначейские векселя США, которые считаются безрисковыми). Спотовая цена актива — это просто рыночная стоимость в момент заключения форвардного контракта.

Таким образом, ДОХОД − РАСХОД = ЧИСТАЯ ПРИБЫЛЬ, и чистая прибыль может поступить только из альтернативной стоимости владения активом в течение этого периода (он мог бы продать его и инвестировать деньги по безрисковой ставке).

Обозначим:

• K = справедливая цена
• C = стоимость капитала
• S = спотовая цена актива
• F = будущая стоимость дивидендов актива
• I = текущая стоимость F (дисконтированная по ставке r)
• r = безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении
• T = период времени от момента заключения контракта

Решая уравнение для справедливой цены и подставляя математические выражения, получаем:

K = C + S − F

где:

C = S(e^(rT) − 1)

(так как e^(rT) = 1 + j, где j — эффективная процентная ставка за период T)

F = c₁e^(r(T−t₁)) + ⋯ + cₙe^(r(T−tₙ))

где c — i-й дивиденд, выплачиваемый в момент времени t.

После упрощения получаем:

K = (S − I)e^(rT)

Важно отметить, что в приведенном выше доказательстве неявно предполагается, что базовый актив может торговаться. Это предположение не применимо к определенным типам форвардов.

Форварды и фьючерсы: различия в цене

Между форвардной и фьючерсной ценой существует разница, когда процентные ставки стохастичны. Эта разница исчезает, когда процентные ставки детерминированы.

На языке стохастических процессов форвардная цена является мартингалом при форвардной мере, тогда как фьючерсная цена является мартингалом при нейтральной к риску мере. Форвардная мера и нейтральная к риску мера совпадают, когда процентные ставки детерминированы.