Фаро-тасование: идеальное чередование карт

Фаро-тасование — это техника идеально чередующегося перемешивания карт, при которой колода делится на две равные части и карты переплетаются в строгом математическом порядке. Метод известен также как тасование «ласточкин хвост» и используется как в иллюзионизме, так и в теории вероятности. Эта сложная техника требует точности и практики, но позволяет полностью контролировать расположение карт в колоде.

Идеально чередующееся тасование игральных карт

Фаро-тасование (американский термин), тасование «ласточкин хвост» (британский термин) или переплетающееся тасование — это метод тасования игральных карт, при котором половина колоды держится в каждой руке большими пальцами внутрь, а затем карты отпускаются большими пальцами так, чтобы они падали на стол в переплетённом порядке. Математики Перси Дiaconis (Дайкониc), Рональд Graham (Грэхем) и Уильям Kantor (Кантор) также называют эту технику фаро-тасованием, когда она используется в магии.

Математики используют термин «фаро-тасование» для описания точной перестановки колоды на две равные кучи по 26 карт, которые затем идеально чередуются.

Описание

Правша держит карты сверху в левой руке и снизу в правой руке. Колода разделяется на две предпочтительно равные части путём поднятия половины карт большим пальцем правой руки и продвижения пакета левой руки вперёд, отделяя его от правой руки. Два пакета часто скрещивают и постукивают друг о друга для выравнивания. Затем их сдвигают вместе по коротким сторонам и изгибают вверх или вниз. Карты будут поочередно падать друг на друга, в идеале чередуясь по одной из каждой половины, подобно молнии. Эффектность можно усилить, сжимая пакеты вместе, прикладывая давление и изгибая их сверху.

Игра в Фаро заканчивается двумя равными кучами карт, которые дилер должен объединить для раздачи в следующей игре. По словам фокусника Джона Maskelyne (Маскелина), использовался описанный выше метод, который он называет «тасованием дилера фаро». Маскелин первым дал чёткие инструкции, но тасование использовалось и ассоциировалось с фаро раньше, что было обнаружено в основном математиком и фокусником Перси Дайконисом.

Идеальные тасования

Фаро-тасование — это контролируемое тасование, которое не полностью рандомизирует колоду.

Идеальное фаро-тасование, при котором карты идеально чередуются, требует от того, кто тасует, разделить колоду на две равные стопки и приложить ровно нужное давление при сдвигании половинок друг к другу.

Фаро-тасование, при котором верхняя карта остаётся сверху, а нижняя карта остаётся снизу, называется внешним тасованием, а тасование, при котором верхняя карта переходит на вторую позицию, а нижняя карта переходит на вторую позицию снизу, называется внутренним тасованием. Эти названия были придуманы фокусником и программистом Alex Elmsley (Алексом Элмсли).

Внешнее тасование даёт тот же результат, что и удаление верхней и нижней карт, выполнение внутреннего тасования на оставшихся картах, а затем возврат верхней и нижней карт на их исходные позиции. Повторённые внешние тасования не могут изменить порядок всей колоды, только средних n−2 карт. Математические теоремы о фаро-тасованиях обычно относятся к внешним тасованиям.

Внутреннее тасование даёт тот же результат, что и добавление одной посторонней карты сверху и одной посторонней карты снизу, выполнение внешнего тасования на увеличенной колоде, а затем удаление посторонних карт. Повторённые внутренние тасования могут изменить порядок всей колоды.

Если можно выполнять идеальные внутренние тасования, то 26 тасований изменят порядок колоды на противоположный, а ещё 26 восстановят её исходный порядок.

В общем случае k идеальных внутренних тасований восстановят порядок колоды из n карт, если 2^k ≡ 1 (mod n+1). Например, 52 последовательных внутренних тасования восстановят порядок колоды из 52 карт, потому что 2^52 ≡ 1 (mod 53).

В общем случае k идеальных внешних тасований восстановят порядок колоды из n карт, если 2^k ≡ 1 (mod n−1). Например, если удаётся выполнить восемь внешних тасований подряд, то колода из 52 карт вернётся в исходный порядок, потому что 2^8 ≡ 1 (mod 51). Однако для восстановления порядка колоды из 64 карт требуется только 6 внешних фаро-тасований.

Другими словами, количество внутренних тасований, необходимых для возврата колоды чётного размера n в исходный порядок, определяется мультипликативным порядком 2 по модулю (n + 1).

Например, для размеров колоды n = 2, 4, 6, 8, 10, 12…, необходимое количество внутренних тасований: 2, 4, 3, 6, 10, 12, 4, 8, 18, 6, 11…

Согласно гипотезе Артина о первообразных корнях, отсюда следует, что существует бесконечно много размеров колод, требующих полного набора из n тасований.

Аналогичная операция внешнему тасованию для бесконечной последовательности — это чередующаяся последовательность.

Пример

Для простоты используем колоду из шести карт.

Ниже показан порядок колоды после каждого внутреннего тасования. Колода такого размера возвращается в исходный порядок после 3 внутренних тасований.

Ниже показан порядок колоды после каждого внешнего тасования. Колода такого размера возвращается в исходный порядок после 4 внешних тасований.

Как манипуляция с колодой

Фокусник Алекс Элмсли обнаружил, что контролируемая серия внутренних и внешних тасований может использоваться для перемещения верхней карты колоды на любую желаемую позицию. Трюк заключается в том, чтобы выразить желаемую позицию карты в двоичной системе, а затем выполнить внутреннее тасование для каждой единицы и внешнее тасование для каждого нуля.

Например, чтобы переместить верхнюю карту так, чтобы над ней было десять карт, выразите число десять в двоичной системе (1010). Тасуйте внутрь, наружу, внутрь, наружу. Раздайте десять карт с верхней части колоды; одиннадцатая будет вашей исходной картой. Обратите внимание, что не имеет значения, выразите ли вы число десять как 1010 или 00001010; предварительные внешние тасования не повлияют на результат, потому что внешние тасования всегда держат верхнюю карту сверху.

Аспекты теории групп

В математике идеальное тасование можно рассматривать как элемент симметрической группы.

В более общем случае идеальное тасование в S₂ₙ — это перестановка, которая разделяет множество на 2 кучи и чередует их.

Другими словами, это отображение, при котором нечётные позиции переходят в первую половину, а чётные позиции — во вторую половину.

Аналогично, перестановка идеального (k,n)-тасования — это элемент Sₖₙ, который разделяет множество на k куч и чередует их.

Идеальное (2,n)-тасование, обозначаемое ρₙ, является композицией идеального (2,n−1)-тасования с n-циклом, поэтому знак ρₙ равен:

sgn(ρₙ) = (−1)^(n+1) sgn(ρₙ₋₁).

Знак таким образом 4-периодичен:

sgn(ρₙ) = (−1)^⌊n/2⌋ = +1 при n ≡ 0,1 (mod 4) и −1 при n ≡ 2,3 (mod 4).

Первые несколько идеальных тасований: ρ₀ и ρ₁ тривиальны, а ρ₂ — это транспозиция (23) ∈ S₄.

Что такое фаро-тасование и как его выполнять