Эргодическая экономика: теория и применение

Теория, которая пытается объединить экономику и эргодическую теорию

Эргодическая экономика — это исследовательская программа, применяющая концепцию эргодичности к проблемам экономики и принятия решений в условиях неопределённости. Основная цель программы — понять, как традиционная экономическая теория, сформулированная в терминах ожидаемых значений, изменяется при замене ожидаемого значения на временные средние. В частности, программа интересуется тем, как поведение формируется неэргодическими экономическими процессами, то есть процессами, где ожидаемое значение наблюдаемой величины не равно её временному среднему.

Предпосылки

Средние значения и ожидаемые значения широко используются в экономической теории, чаще всего как сводная статистика, например при моделировании решений агентов в условиях неопределённости. Ранняя экономическая теория развивалась в то время, когда ожидаемое значение уже было изобретено, но его связь с временным средним ещё не изучалась. Не было чёткого различия между этими двумя математическими объектами, что можно интерпретировать как неявное предположение об эргодичности. Эргодическая экономика исследует, какие аспекты экономики могут быть лучше поняты при отказе от этого неявного предположения.

Хотя одна из распространённых критик моделирования решений на основе ожидаемых значений — это чувствительность среднего к выбросам, эргодическая экономика сосредоточивается на другой критике. Она подчёркивает физический смысл ожидаемых значений как средних по статистическому ансамблю параллельных систем. Она требует физического обоснования при использовании ожидаемых значений. По сути, должно выполняться хотя бы одно из двух условий:

• среднее значение наблюдаемой величины по многим реальным системам релевантно для задачи, и выборка систем достаточно велика, чтобы хорошо аппроксимировать статистический ансамбль;

• среднее значение наблюдаемой величины в одной реальной системе за длительное время релевантно для задачи, и наблюдаемая величина хорошо моделируется как эргодическая.

В эргодической экономике ожидаемые значения заменяются, где необходимо, на средние, которые учитывают эргодичность или неэргодичность рассматриваемых величин. Неэргодичность тесно связана с проблемами необратимости и зависимости от пути, которые являются общими темами в экономике.

Связь с другими науками

В математике и физике концепция эргодичности используется для характеристики динамических систем и стохастических процессов. Система называется эргодической, если точка движущейся системы в конечном итоге посетит все части пространства, в котором движется система, равномерно и случайным образом. Эргодичность подразумевает, что среднее поведение вдоль одной траектории во времени (временное среднее) эквивалентно среднему поведению большого ансамбля в один момент времени (среднее по ансамблю). Для бесконечно большого ансамбля среднее по ансамблю наблюдаемой величины эквивалентно ожидаемому значению.

Эргодическая экономика наследует из этих идей исследование эргодических свойств стохастических процессов, используемых в качестве экономических моделей.

Исторический контекст

Эргодическая экономика ставит под сомнение, является ли ожидаемое значение полезным показателем поведения экономической величины во времени. При этом она опирается на существующие критики использования ожидаемого значения при моделировании экономических решений. Такие критики появились вскоре после введения ожидаемого значения в 1654 году. Например, теория ожидаемой полезности была предложена в 1738 году Даниилом Бернулли (Daniel Bernoulli) как способ моделирования поведения, несовместимого с максимизацией ожидаемого значения. В 1956 году Джон Келли (John Kelly) разработал критерий Келли, оптимизируя использование доступной информации, и позже Лео Бреиман (Leo Breiman) отметил, что это эквивалентно оптимизации временного среднего производительности, в отличие от ожидаемого значения.

Исследовательская программа эргодической экономики берёт начало в двух статьях Оле Петерса (Ole Peters) 2011 года, теоретического физика и нынешнего внешнего профессора Института Санта-Фе (Santa Fe Institute). Первая изучала проблему оптимального кредитного плеча в финансах и то, как это может быть достигнуто путём рассмотрения неэргодических свойств геометрического броуновского движения. Вторая статья применила принципы неэргодичности для предложения возможного решения парадокса Санкт-Петербурга (St. Petersburg paradox). Более поздние работы предложили возможные решения для премии за акции, страховой головоломки, выбора азартных игр, взвешивания вероятностей и дали представление о динамике неравенства доходов.

Теория принятия решений

Эргодическая экономика подчёркивает, что происходит с богатством агента во времени. Из этого следует возможная теория принятия решений, где агенты максимизируют временное среднее темпа роста богатства. Функциональная форма темпа роста зависит от процесса богатства. В целом, темп роста принимает форму, где функция линеаризует процесс богатства таким образом, чтобы темпы роста, оценённые в разные моменты времени, можно было осмысленно сравнивать.

Процессы роста богатства в целом нарушают эргодичность, но их темпы роста, тем не менее, могут быть эргодическими. В этом случае временное среднее темпа роста можно вычислить как скорость изменения ожидаемого значения функции линеаризации.

В этом контексте функция линеаризации называется эргодической трансформацией.

Связь с классической теорией принятия решений

Влиятельный класс моделей экономического принятия решений известен как теория ожидаемой полезности. Конкретная модель может быть связана с оптимизацией темпа роста, подчёркиваемой эргодической экономикой. Здесь агенты оценивают денежное богатство в соответствии с функцией полезности, и постулируется, что решения максимизируют ожидаемое значение изменения полезности.

Эта модель была предложена как улучшение максимизации ожидаемого значения, где агенты максимизируют ожидаемое изменение богатства. Нелинейная функция полезности позволяет кодировать поведенческие паттерны, не представленные в максимизации ожидаемого значения. В частности, агенты, максимизирующие ожидаемую полезность, могут иметь идиосинкратические предпочтения по риску. Агент со строго выпуклой функцией полезности более склонен к риску, чем максимизирующий ожидаемое богатство, а строго вогнутая функция полезности подразумевает большую неприятие риска.

Сравнивая две модели, можно отождествить функцию полезности с линеаризацией и сделать два выражения идентичными. Это отображение показывает, что две модели дадут идентичные предсказания, если функция полезности, применяемая в теории ожидаемой полезности, совпадает с эргодической трансформацией, необходимой для вычисления эргодического темпа роста.

Эргодическая экономика, таким образом, подчёркивает динамические обстоятельства, при которых принимается решение, тогда как теория ожидаемой полезности подчёркивает идиосинкратические предпочтения для объяснения поведения. Различные эргодические трансформации указывают на различные типы динамики богатства, тогда как различные функции полезности указывают на различные личные предпочтения. Отображение подчёркивает связь между двумя подходами, показывая, что различия в личных предпочтениях могут возникать исключительно в результате различных динамических контекстов лиц, принимающих решения.

Непрерывный пример: геометрическое броуновское движение

Простой пример процесса богатства агента — геометрическое броуновское движение (ГБД), широко используемое в математических финансах и других областях. Процесс следует ГБД, если он удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению, где приращение винеровского процесса, а параметры «дрейф» и «волатильность» — константы.

Решение уравнения даёт выражение для процесса богатства через экспоненту.

В этом случае эргодической трансформацией является натуральный логарифм богатства, что легко проверяется: логарифм богатства растёт линейно во времени.

Следуя описанному методу, это приводит к временному среднему темпу роста, равному дрейфу минус половина квадрата волатильности.

Отсюда следует, что для геометрического броуновского движения максимизация скорости изменения логарифмической функции полезности эквивалентна максимизации временного среднего темпа роста богатства, то есть тому, что происходит с богатством агента во времени.

Стохастические процессы, отличные от геометрического броуновского движения, обладают различными эргодическими трансформациями, где агенты, оптимизирующие рост, максимизируют ожидаемое значение функций полезности, отличных от логарифма. Тривиально, замена на аддитивную динамику подразумевает линейную эргодическую трансформацию, и можно вывести много подобных пар динамики и трансформаций.

Дискретный пример: мультипликативный бросок монеты

Популярная иллюстрация неэргодичности в экономических процессах — повторяющийся мультипликативный бросок монеты, являющийся примером биномиального мультипликативного процесса. Она демонстрирует, как анализ ожидаемого значения может показать, что азартная игра благоприятна, хотя игрок гарантированно потеряет деньги со временем.

Определение

В этом мысленном эксперименте человек участвует в простой игре, где бросает честную монету. Если монета выпадает орлом, человек получает 50% от своего текущего богатства; если решкой, человек теряет 40%.

Игра показывает разницу между ожидаемым значением инвестиции или ставки и временным средним или реальным результатом повторного участия в этой ставке во времени.

Расчёт ожидаемого значения

Обозначив текущее богатство и время получения выплаты, мы находим, что богатство после одного раунда задаётся случайной величиной, которая принимает значения 1,5 раза текущее богатство (при орле) и 0,6 раза текущее богатство (при решке), каждое с вероятностью 1/2. Ожидаемое значение богатства игрока после одного раунда составляет 1,05 раза текущее богатство.

По индукции после T раундов ожидаемое богатство составляет 1,05 в степени T, умноженное на начальное богатство, растущее экспоненциально на 5% за раунд.

Этот расчёт показывает, что игра благоприятна в ожидании — её ожидаемое значение увеличивается с каждым сыгранным раундом.

Расчёт временного среднего

Временное среднее производительности указывает, что происходит с богатством одного игрока, который играет повторно, переинвестируя всё своё богатство каждый раунд. Из-за сложных процентов после T раундов богатство будет равно произведению реализованных случайных множителей, на которые богатство умножается в каждом раунде игры.

Усреднённое во времени, богатство выросло за раунд на множитель, равный корню T-й степени из отношения конечного богатства к начальному.

Вводя обозначение для количества орлов в последовательности бросков, мы переписываем это как произведение множителей для орла и решки, возведённых в степени, равные доле орлов и решек соответственно.

Для любого конечного T временное среднее множество роста за раунд является случайной величиной. Предел при стремлении числа раундов к бесконечности даёт характеристический скаляр, который можно сравнить с множителем роста за раунд ожидаемого значения. Доля выпавших орлов тогда сходится к вероятности орла (а именно 1/2), и временное среднее множество роста составляет геометрическое среднее множителей для орла и решки, примерно 0,95.

Обсуждение

Сравнение между ожидаемым значением и временным средним производительности иллюстрирует эффект нарушенной эргодичности: со временем с вероятностью единица богатство уменьшается примерно на 5% за раунд, в отличие от увеличения на 5% за раунд ожидаемого значения.

Как ум обманывается при ставках на нестационарную систему

Для объяснения опасности ставок на нестационарную систему используется простая игра. Два человека сидят друг напротив друга, разделённые чёрной тканью, так что они не видят друг друга. Они играют в следующую игру: человек, которого мы назовём А, бросает монету, а человек, которого мы назовём Б, пытается угадать состояние, в котором находится монета на столе. Эта игра длится произвольный промежуток времени, и человек А свободен выбирать, сколько бросков делать в течение выбранного промежутка времени. Человек Б не видит бросок монеты, но может в любой момент в течение промежутка времени сделать ставку. Когда он делает ставку, если он угадывает состояние, в котором находится монета в этот момент, он выигрывает. Игра начинается: А бросает только один раз (результат: орёл), а Б делает ставку дважды на орёл, выигрывая оба раза.

Вопрос: какова общая вероятность результата?

• Б рассчитывает вероятность 25% (0,5 × 0,5), рассматривая ставки как независимые.

• А рассчитывает вероятность 50%, так как был только один бросок, а не два отдельных события.

Различие возникает из оценки условной вероятности:

• Б оценивает условную вероятность, рассматривая события (ставки) как полностью независимые.

• А оценивает условную вероятность, рассматривая события как полностью зависимые.

Правильный ответ зависит от информации: только человек, бросающий монету (А), знает количество бросков и может правильно оценить вероятность.

Применение к финансовым рынкам

Игра подчёркивает, как трейдеры (игрок Б) часто рассматривают свои сделки как независимые, игнорируя неэргодическую структуру финансовых рынков (игрок А). Рынки не являются эргодическими, потому что последовательности событий не могут быть просто представлены долгосрочными статистическими средними. Другими словами, доходы не следуют независимым и одинаково распределённым процессам, и исторические условия глубоко влияют на будущие результаты. Эта ошибка приводит к переоценке предсказательных возможностей и чрезмерному принятию риска.

Освещение в средствах массовой информации

В декабре 2020 года Bloomberg опубликовал статью под названием «Всё, что мы узнали о современной экономической теории, неправильно», обсуждающую последствия эргодичности в экономике после публикации обзора темы в журнале Nature Physics. Morningstar освещал эту историю, обсуждая инвестиционный случай для диверсификации акций.

В книге «Кожа в игре» Нассим Николас Талеб (Nassim Nicholas Taleb) предполагает, что проблема эргодичности требует переосмысления того, как экономисты используют вероятности. Резюме аргументов было опубликовано Талебом в статье на Medium в августе 2017 года.

В книге «Конец теории» Ричард Букстабер (Richard Bookstaber) перечисляет неэргодичность как одну из четырёх характеристик нашей экономики, которые являются частью финансовых кризисов, которые традиционная экономика не учитывает должным образом, и которые любая модель таких кризисов должна адекватно учитывать. Три других — это вычислительная необратимость, возникающие явления и радикальная неопределённость.

В книге «Эргодический инвестор и предприниматель» Бойд и Реардон (Boyd and Reardon) рассматривают практические последствия неэргодического роста капитала для инвесторов и предпринимателей, особенно для тех, кто сосредоточен на устойчивости, циклической экономике, чистом позитиве или регенеративном подходе.

Джеймс Уайт и Виктор Хаганни (James White and Victor Haghani) обсуждают область эргодической экономики в своей книге «Недостающие миллиардеры» (The Missing Billionaires).

Критика

Утверждалось, что теория ожидаемой полезности неявно предполагает эргодичность в том смысле, что она оптимизирует ожидаемое значение, которое релевантно для долгосрочной выгоды лица, принимающего решение, только если соответствующая наблюдаемая величина эргодична. Доктор, Уоккер и Танг (Doctor, Wakker, and Tang) утверждают, что это неправильно, потому что такие предположения находятся «вне сферы теории ожидаемой полезности как статической теории». Они далее утверждают, что эргодическая экономика переоценивает важность долгосрочного роста как «основного фактора, объясняющего экономические явления» и недооценивает важность индивидуальных предпочтений. Они также предостерегают от неправильной оптимизации долгосрочного роста.

Доктор, Уоккер и Танг приводят пример краткосрочного решения между А) большой убытком, понесённым с уверенностью, и Б) выигрышем, полученным с почти уверенностью, в паре с ещё большим убытком с пренебрежимо малой вероятностью. В примере долгосрочный темп роста благоприятствует определённому убытку и кажется неподходящим критерием для краткосрочного горизонта принятия решений.

Наконец, эксперимент Медера и коллег (Meder and colleagues) утверждает, что обнаруживает, что индивидуальные предпочтения по риску изменяются с динамическими условиями способами, предсказанными эргодической экономикой. Доктор, Уоккер и Танг критикуют эксперимент за то, что он запутан различиями в неопределённости и сложности расчётов вероятностей. Кроме того, они критикуют анализ за применение статических моделей теории ожидаемой полезности в контексте, где более уместны динамические версии. В поддержку этого Голдштейн (Goldstein) утверждает, что многопериодная теория ожидаемой полезности предсказывает подобное изменение предпочтений по риску, как наблюдалось в эксперименте.