Бинарный жребий: история и применение

Бинарный жребий — это древний способ получения случайных результатов с помощью предметов, имеющих две различные стороны. От простых монет до традиционных раковин каури, такие предметы использовались веками в азартных играх, гадании и принятии беспристрастных решений. Узнайте об истории и разнообразных применениях бинарного жребия в различных культурах.

Предметы с двумя различными сторонами для получения случайных результатов

Бинарный жребий — это предмет, который при бросании останавливается одной из двух сторон вверх. Это могут быть как точно обработанные объекты, например современные монеты, дающие сбалансированные результаты (каждая сторона выпадает примерно в половине случаев), так и естественные предметы, например раковины каури, которые могут давать различные несбалансированные результаты в зависимости от вида, индивидуальных особенностей и условий броска.

Бинарные жребии используются для гадания, беспристрастного принятия решений, азартных игр и игр, границы между которыми (как отмечает Дэвид Парлетт) могут быть размыты. Их можно бросать по одному, получая единственный бинарный результат (да/нет, выигрыш/проигрыш и т. д.), но часто бросают несколько одновременно, получая диапазон возможных результатов.

Монеты

В отличие от большинства бинарных жребиев, которые обычно бросают множественно для получения различных результатов, монеты чаще всего бросают (подбрасывают или вращают) поодиночке, получая простой результат да/нет или выигрыш/проигрыш. Как сам жребий, так и его результат являются бинарными. Кроме того, две стороны монеты почти симметричны, поэтому каждая может выпадать примерно в 50% случаев, в отличие от каури, полукруглых палочек и других форм бинарных жребиев.

Игра в подбрасывание монеты, известная как «Орёл или решка», древняя и восходит по крайней мере к классической Греции, где Аристофан знал её как Артиасмос (Artiasmos), и классическому Риму, где она называлась «Голова или корабль» (Caput aut Navis) — по двум изображениям на сторонах некоторых римских монет. В средневековье различные страны чеканили на монетах разные изображения, поэтому итальянцы играли в «Цветок или святой» (Fiori o Santi), испанцы — в «Кастилию или Леон», немцы — в «Герб или письмо» (Wappen oder Schrift), французы — в «Крест или решку» (Croix ou Pile).

Хотя большинство этих названий описывают изображения на обеих сторонах, как более ранние английские «Крест и решка» (Cross and Pile), так и современное английское «Орёл или решка» (Heads or Tails) описывают только одну сторону. Слово «решка» не описывает, что изображено: оно просто указывает на «обратную сторону»; аналогично «решка» означает «сторона, противоположная орлу».

На протяжении веков подбрасывание монет служило как самостоятельной игрой, так и предварительным действием перед другими играми: уже в 1660-х годах Фрэнсис Виллугби отмечает, что дети играют в «Крест и решку» как в независимую игру, но также упоминает случаи, когда это используется для определения, кто ходит первым в других играх.

Монеты обычно используются в гадании И Цзин (хотя подсчёт стеблей тысячелистника является более древним методом). Обычный метод заключается в бросании трёх монет для получения каждой из шести линий гексаграммы. Исторически китайские монеты имели только одну отмеченную сторону (с иероглифами), и в этой процедуре она считается инь и получает числовое значение 2, а немаркированная сторона — ян с значением 3. Сумма значений трёх брошенных монет будет от 6 до 9; чётная сумма означает, что одна из шести линий гексаграммы — инь, нечётная — ян, с равными вероятностями. Бросок одновременно даёт второй бинарный результат с неравными вероятностями: суммы 7 и 8 означают, что линия «молодая», а менее вероятные суммы 6 и 9 означают, что линия «старая» и вот-вот изменится на противоположную.

Оракульный текст «Линь Ци Цзин» консультируется с использованием 12 деревянных дисков, строго говоря, фигур китайских шахмат, сделанных из дерева, поражённого молнией; неудивительно, что обычно используются другие конгруэнтные предметы, такие как самодельные диски, деревянные шашки и монеты. 12 дисков состоят из 4 каждого из 3 типов (например, 4 четвертака, 4 пятака и 4 пенни), так что один бросок эквивалентен 3 дифференцированным броскам 4 недифференцированных жребиев, дающих 1 из 125 возможных результатов.

Палочки

Палочки — куски дерева (также тростника, кости или других материалов) обычно полукруглого сечения — встречаются во многих регионах и периодах времени, используясь как рандомизаторы, например, во многих настольных играх коренных американцев (из которых игра киова Зон Ал часто приводится как пример), в древнеегипетском Сенете, а также в современном египетском Табе, в древнекитайском Лиубо и в древней — и всё ещё существующей — корейской Юннори. Их легко изготовить, обычно просто расколов палку пополам вдоль, хотя часто применяется дополнительная отделка или украшение.

Большинство задокументированных игр используют 3 или 4 палочки, хотя Х. Дж. Р. Мюррей отмечает игры, требующие до 8 палочек. Лиубо буквально означает «6 палочек» — это количество палочек, используемых в игре (хотя иногда использовались 18-гранные кости).

Раковины каури

Раковины каури — морских улиток семейства Cypraeidae — часто функционируют как жребии. Их прочная раковина округлена с одной стороны. Другая (плоская) сторона имеет длинное узкое отверстие (обычно называемое ртом), проходящее от конца к концу, из которого животное может выходить и в которое может втягиваться.

Различные виды каури используются как кости для различных настольных игр в Индии, пожалуй, наиболее заметно в традиционной индийской игре Пачиси. Здесь одновременно бросают 6 или 7 раковин каури, в результате чего получается единственное значение хода в зависимости от количества раковин, упавших ртом вверх.

В ово мэриндинлогун, форме йоруба гадания, бросают 16 раковин каури, получая 1 из 17 возможных результатов, каждый из которых «связан с заученными стихами, содержащими мифы и сказки, которые помогают в их интерпретации».

Другие бинарные жребии

Любой предмет, который может быть брошен так, чтобы упасть отчётливо на одну из двух сторон, может функционировать как бинарный жребий.

Североамериканские

В работе «Игры североамериканских индейцев» Стюарт Кулин предоставляет описания и гравюры более 200 наборов бинарных жребиев. Большинство — это полукруглые палочки, но другие жребии изготовлены из кости, камня, ореховой скорлупы, косточки плода, кукурузного зерна, раковины моллюска, зубов и когтей сурка и бобра, латуни и фарфора, а также деревянные жребии, обработанные в формы, отличные от типичной полукруглой палочки.

Урим и Туммим

Библейские Урим и Туммим могли быть бинарными жребиями, но их форма и функция остаются неясными.

Гадальные таблички

Гадальное использование бинарных жребиев в виде «четырёх маленьких прямоугольных или треугольных табличек из дерева, кости или слоновой кости» широко распространено в Южной Африке, вероятно, возникнув у народа шона до 1561 года. Они плоские или слегка линзовидные в сечении. Их бросают множественно, но в отличие от многих наборов бинарных жребиев, каждая отмечена индивидуально; таким образом, эти 4 таблички дают 16 возможных результатов, а не 5 (как, например, 4 недифференцированные каури).

Гадальные цепи

Несколько западноафриканских гадальных традиций используют гадальные цепи с кратными 4 упорядоченными бинарными жребиями (часто 8 или 16), в виде половинок семенных стручков или половинок манговых семян, но также кусков калебаса, металла или других предметов. Наиболее известна гадание Ифа народа йоруба, использующее Опеле (гадальную цепь) с 8 жребиями, чаще всего грушевидными половинками семенных стручков Шребера трёхлопастного (местно называемыми Опеле, откуда цепь получила своё название). Хотя жребии визуально похожи, они дифференцированы по положению, будучи закреплены на цепи, и цепь отмечена с правой и левой сторон; поэтому один бросок цепи даёт 1 из 256 возможных результатов, каждый из которых связан с заученными стихами.

Бинарные жребии с более чем двумя сторонами

Любой жребий с более чем двумя сторонами может функционировать как бинарный жребий, если все его стороны сгруппированы в два набора. Например, кубическая кость может давать коэффициент 1:1 как справедливая монета, если три стороны отмечены как «да», а остальные три как «нет», или, при кости с обычной разметкой точками, если наблюдать только, есть ли точка в центре (как на сторонах 1, 3 и 5) или нет. Игра в кости «Колокол и молот» требует 8 кубических костей, каждая пустая на пяти сторонах и имеющая только одну отмеченную сторону, каждая кость таким образом дающая коэффициент 1:5.

Некоторые наборы Королевской игры Ура, датируемые серединой III тысячелетия до н. э., включают примерно правильные тетраэдрические (4-гранные) кости с 2 отмеченными вершинами и 2 немаркированными вершинами.

Результаты и вероятность

Результаты

Когда бинарный жребий бросают поодиночке (как типично для монет), он даёт единственный бинарный результат (да/нет, выигрыш/проигрыш и т. д.). Но чаще их бросают множественно, несколько одновременно (как типично для палочек и каури), получая диапазон возможных результатов.

Когда жребии недифференцированы, то n жребиев дают n+1 возможных результатов: таким образом, бросание 4 палочек даёт 1 из 5 возможных результатов. Эти результаты определяются количеством отмеченных сторон вверху, но значение этих результатов может отличаться от простого подсчёта отмеченных сторон. Например, в современной египетской настольной игре Таб используется следующая схема:

Эта схема типична для большинства настольных игр, использующих множественные бинарные броски в том, что: 1) значения ходов основаны на, но модифицированы из простого подсчёта отмеченных сторон, и 2) это более экстремальные подсчёты (которые статистически реже встречаются), которым присваивается повышенное значение.

Когда жребии дифференцированы, то n жребиев дают 2^n возможных результатов: таким образом, бросание 4 различных гадальных табличек Хаката даёт 1 из 16 возможных результатов.

Эти методы не всегда строго исключают друг друга. Несколько настольных игр коренных американцев используют 3 палочки, только 1 из которых дифференцирована, в результате чего получается 6 возможных результатов — середина между 4, если недифференцированы, и 8, если полностью дифференцированы. Наиболее распространённый метод гадания И Цзин на основе монет начинается с броска 3 недифференцированных монет (4 возможных результата), но использует 6 бросков (дифференцированных по порядку) для создания полной гексаграммы, представляющей 1 из 4096 возможных результатов.

Вероятность

Равные шансы

Исходя из предположения, что жребий с равной вероятностью упадёт любой из своих сторон вверх, шансы одного броска пословично известны: 50 на 50. Но по мере добавления недифференцированных жребиев к одному броску шансы становятся неравными. Простейший случай — 2 жребия, отмеченные 0 и 1:

Здесь есть 4 возможных броска, но они дают только 3 результата с неравными шансами, более высокими для центрального результата и более низкими для экстремальных: 2 = 25%, 1 = 50% и 0 = 25%. Эта закономерность сохраняется для всех бросков недифференцированных бинарных жребиев.

Графическое сглаживание может быть обманчивым: при использовании 2 жребиев центральный (наиболее частый) результат в 2 раза более вероятен, чем экстремальный результат. Но при использовании 8 жребиев центральный результат в 70 раз более вероятен, чем экстремальный. Использование кубических костей (или любых костей с более чем 2 сторонами) несколько сглаживает эту кривую, делая шансы более равными.

Дэвид Парлетт отмечает: «Кубики всегда вытесняли бинарные жребии там, где оба были известны, вероятно, потому, что они удобнее, но, возможно, также потому, что они чаще вводят в игру редкие числа».

Неравные шансы

Хотя можно предположить, что даже несколько повреждённая монета даст довольно близкие к 50:50 шансы, такое предположение нельзя сделать для большого ассортимента неправильно сформированных бинарных жребиев. Например, возьмём игру в Пачиси, в которой одновременно бросают 6 недифференцированных раковин каури.

Вероятность того, что рот будет вверху для каждой раковины, может варьироваться в зависимости от вида, индивидуальных особенностей и даже метода броска. Во время кувыркания раковина каури с ртом вверху будет иметь нестабильное основание и высокий центр тяжести, увеличивая вероятность дальнейшего кувыркания; напротив, раковина с ртом вниз будет иметь стабильное основание и низкий центр тяжести, увеличивая вероятность остановки. Вероятности 7 возможных результатов можно сравнить между гипотетическими случаями, в которых вероятности рта вверху составляют 1/3 против 2/5 против 1/2:

На первый взгляд может показаться, что неравные шансы сделают игру чрезвычайно медленной. Однако Пачиси, как и большинство игр, требующих бинарных жребиев, награждает экстремальные броски больше, чем центральные броски, например, по этой схеме, которую Мюррей утверждает, что это наиболее распространённая:

(G = благодать, полезный бонусный пункт; + = бросить снова.)

Если 4 экстремальных результата коллективно рассматривать как «хорошие», то неравные шансы фактически увеличивают вероятность «хорошего» броска (где основная часть выигрыша приходится на 1 рот вверху).

Применение бинарного жребия в азартных играх и гадании